ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 22 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Докажите методом математической индукции, что при любом натуральном \(n\) выполняется равенство
\(1 + 7 + 13 + \cdots + (6n — 5) = n(3n — 2)\).

2. Докажите неравенство \(6^n > 5n + 4\), где \(n \in \mathbb{N}, n \geq 2\).

3. Докажите, что для любого натурального \(n\) значение выражения \((29^n + 68 \cdot 6^n)\) кратно 23.

1. Доказать равенство при всех :
\(1 + 7 + 13 + \cdots + 6n — 5 = n(3n — 2)\);
Если \(n = 1\), тогда:
\(1 \cdot (3 \cdot 1 — 2) = 1 \cdot 1 = 1\);
Если \(n = k + 1\), тогда:
\(1 + 7 + \cdots + (6k — 5) + 6(k + 1) — 5 = k(3k — 2) + 6k + 1 =\)
\(= 3k^2 — 2k + 6k + 1 = 3k^2 + 4k + 1 = (k + 1)(3k + 1)=\)
\( = (k + 1)(3k + 3 — 2) = (k + 1)(3(k + 1) — 2);\)
Что и требовалось доказать.

2. Доказать неравенство:
\(6^n > 5n + 4, \quad n \geq 2;\)
Если \(n = 2\), тогда:
\(6^2 = 36, \quad 5 \cdot 2 + 4 = 14;\)
Если \(n = k + 1\), тогда:
\(6^{k+1} — 5(k + 1) — 4 = 6 \cdot 6^k — 5k — 5 — 4 = 6 \cdot 6^k — 5k — 9 = 6(6^k — 5k — 4) +\)
\(+ 25k + 15;\)
Что и требовалось доказать.

3. Доказать кратность:
\((29^n + 68 \cdot 6^n) : 23;\)
Если \(n = 1\), тогда:
\(29 + 68 \cdot 6 = 437 : 23;\)
Если \(n = k + 1\), тогда:
\(29^{k+1} + 68 \cdot 6^{k+1} = 29 \cdot 29^k + 68 \cdot 6 \cdot 6^k = 6(29^k + 68 \cdot 6^k) + 23 \cdot 29^k;\)
Что и требовалось доказать.

1. Доказать равенство при всех:
\(1 + 7 + 13 + \cdots + (6n — 5) = n(3n — 2)\).

Пусть \(n = 1\). Тогда левая часть равенства:
\(1\). Правая часть равенства:
\(1 \cdot (3 \cdot 1 — 2) = 1 \cdot 1 = 1\).
Значит, равенство верно для \(n = 1\).

Предположим, что равенство верно для \(n = k\), то есть:
\(1 + 7 + 13 + \cdots + (6k — 5) = k(3k — 2)\).

Докажем, что оно верно для \(n = k + 1\). Рассмотрим сумму:
\(1 + 7 + 13 + \cdots + (6k — 5) + (6(k+1) — 5)\).
По предположению индукции сумма первых \(k\) слагаемых равна \(k(3k — 2)\), значит:
\(k(3k — 2) + 6(k + 1) — 5 = k(3k — 2) + 6k + 6 — 5 = k(3k — 2) + 6k + 1\).

Раскроем скобки и упростим:
\(3k^2 — 2k + 6k + 1 = 3k^2 + 4k + 1\).

Выразим это в виде произведения:
\((k + 1)(3k + 1) = (k + 1)(3k + 3 — 2) = (k + 1)(3(k + 1) — 2)\).

Таким образом, равенство верно для \(n = k + 1\). По принципу математической индукции равенство верно для всех натуральных \(n\).

2. Доказать неравенство:
\(6^n > 5n + 4, \quad n \geq 2\).

Проверим при \(n = 2\):
Левая часть: \(6^2 = 36\).
Правая часть: \(5 \cdot 2 + 4 = 10 + 4 = 14\).
Так как \(36 > 14\), неравенство верно для \(n = 2\).

Предположим, что неравенство верно для \(n = k\), то есть:
\(6^k > 5k + 4\).

Докажем его для \(n = k + 1\):
\(6^{k+1} > 5(k + 1) + 4\).

Запишем левую часть через \(6^k\):
\(6^{k+1} = 6 \cdot 6^k\).

Вычислим выражение:
\(6^{k+1} — 5(k + 1) — 4 = 6 \cdot 6^k — 5k — 5 — 4 = 6 \cdot 6^k — 5k — 9\).

Перепишем:
\(6 \cdot 6^k — 5k — 9 = 6(6^k — 5k — 4) + 25k + 15\).

По предположению индукции \(6^k > 5k + 4\), значит \(6^k — 5k — 4 > 0\). Тогда:
\(6(6^k — 5k — 4) + 25k + 15 > 25k + 15 > 0\) при \(k \geq 2\).

Следовательно, неравенство верно для \(n = k + 1\). По математической индукции оно верно для всех \(n \geq 2\).

3. Доказать кратность:
\((29^n + 68 \cdot 6^n)\) делится на 23.

Проверим при \(n = 1\):
\(29^1 + 68 \cdot 6^1 = 29 + 68 \cdot 6 = 29 + 408 = 437\).
Проверим делимость: \(437 : 23 = 19\), целое число, значит делится.

Предположим, что для \(n = k\) выражение \(29^k + 68 \cdot 6^k\) делится на 23. То есть существует целое число \(m\) такое, что:
\(29^k + 68 \cdot 6^k = 23m\).

Докажем для \(n = k + 1\):
\(29^{k+1} + 68 \cdot 6^{k+1} = 29 \cdot 29^k + 68 \cdot 6 \cdot 6^k\).

Вынесем множители:
\(= 29 \cdot 29^k + 68 \cdot 6 \cdot 6^k = 6(29^k + 68 \cdot 6^k) + 23 \cdot 29^k\).

По предположению индукции \(29^k + 68 \cdot 6^k\) делится на 23, значит \(6(29^k + 68 \cdot 6^k)\) тоже делится на 23.
Также \(23 \cdot 29^k\) явно делится на 23.

Сумма двух чисел, делящихся на 23, также делится на 23.

Следовательно, выражение делится на 23 для \(n = k + 1\). По математической индукции утверждение верно для всех натуральных \(n\).