ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 22 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Докажите методом математической индукции, что при любом натуральном \(n\) выполняется равенство
\(1 + 9 + 17 + \cdots + (8n — 7) = n(4n — 3)\).

2. Докажите неравенство
\(7^n > 6n + 5\), где \(n \in \mathbb{N}\), \(n \geq 2\).

3. Докажите, что для любого натурального \(n\) значение выражения
\(24^n + 25 \cdot 11^n\) кратно 13.

1. Доказать равенство при всех \(n\):
\(1 + 9 + 17 + \cdots + 8n — 7 = n(4n — 3)\);
Если \(n = 1\), тогда:
\(1 \cdot (4 \cdot 1 — 3) = 1 \cdot 1 = 1\);
Если \(n = k + 1\), тогда:
\(1 + 9 + \cdots + (8k — 7) + 8(k + 1) — 7 =\)
\(= k(4k — 3) + 8k + 1 = 4k^2 — 3k + 8k + 1 =\)
\(= 4k^2 + 5k + 1 = (k + 1)(4k + 1) =\)
\(= (k + 1)(4k + 4 — 3) = (k + 1)(4(k + 1) — 3);\)
Что и требовалось доказать.

2. Доказать неравенство:
\(7^n > 6n + 5, \quad n \geq 2;\)
Если \(n = 2\), тогда:
\(7^2 = 49, \quad 6 \cdot 2 + 5 = 17;\)
Если \(n = k + 1\), тогда:
\(7^{k+1} — 6(k + 1) — 5 =\)
\(= 7 \cdot 7^k — 6k — 6 — 5 =\)
\(= 7 \cdot 7^k — 6k — 11 =\)
\(= 7(7^k — 6k — 5) + 36k + 24;\)
Что и требовалось доказать.

3. Доказать кратность:
\((24^n + 25 \cdot 11^n) : 13;\)
Если \(n = 1\), тогда:
\(24 + 25 \cdot 11 = 299 : 13;\)
Если \(n = k + 1\), тогда:
\(24^{k+1} + 25 \cdot 11^{k+1} =\)
\(= 24 \cdot 24^k + 25 \cdot 11 \cdot 11^k =\)
\(= 11(24^k + 25 \cdot 11^k) + 13 \cdot 24^k;\)
Что и требовалось доказать.

1. Доказать равенство при всех \(n\):
\(1 + 9 + 17 + \cdots + (8n — 7) = n(4n — 3)\).

Пусть \(n = 1\). Тогда левая часть равенства:
\(1\). Правая часть:
\(1 \cdot (4 \cdot 1 — 3) = 1 \cdot 1 = 1\).
Значит равенство верно при \(n = 1\).

Пусть равенство верно при \(n = k\), то есть
\(1 + 9 + 17 + \cdots + (8k — 7) = k(4k — 3)\).

Докажем для \(n = k + 1\):
Левая часть при \(n = k + 1\) равна
\(1 + 9 + 17 + \cdots + (8k — 7) + (8(k + 1) — 7)\).

По предположению индукции
\(= k(4k — 3) + (8k + 8 — 7) = k(4k — 3) + (8k + 1)\).

Раскроем скобки и приведём подобные:
\(= 4k^2 — 3k + 8k + 1 = 4k^2 + 5k + 1\).

Преобразуем правую часть для \(n = k + 1\):
\((k + 1)(4(k + 1) — 3) = (k + 1)(4k + 4 — 3) = (k + 1)(4k + 1)\).

Раскроем скобки:
\((k + 1)(4k + 1) = 4k^2 + k + 4k + 1 = 4k^2 + 5k + 1\).

Таким образом, левая и правая части совпадают для \(n = k + 1\).
Что и требовалось доказать.

2. Доказать неравенство:
\(7^n > 6n + 5\), при \(n \geq 2\).

Проверим при \(n = 2\):
Левая часть: \(7^2 = 49\),
Правая часть: \(6 \cdot 2 + 5 = 17\).
Так как \(49 > 17\), неравенство верно при \(n = 2\).

Пусть неравенство верно при \(n = k\), то есть
\(7^k > 6k + 5\).

Докажем для \(n = k + 1\):
Рассмотрим разность:
\(7^{k+1} — (6(k + 1) + 5) = 7 \cdot 7^k — 6k — 6 — 5 = 7 \cdot 7^k — 6k — 11\).

Перепишем как:
\(= 7(7^k — 6k — 5) + 36k + 24\).

По предположению индукции \(7^k > 6k + 5\), значит
\(7^k — 6k — 5 > 0\), тогда
\(7(7^k — 6k — 5) > 0\).

Поскольку \(36k + 24 > 0\) при \(k \geq 2\), то
\(7^{k+1} — (6(k + 1) + 5) > 0\), то есть
\(7^{k+1} > 6(k + 1) + 5\).

Что и требовалось доказать.

3. Доказать кратность:
\((24^n + 25 \cdot 11^n)\) делится на 13.

Проверим при \(n = 1\):
\(24^1 + 25 \cdot 11^1 = 24 + 275 = 299\).

Проверим делимость:
\(299 : 13 = 23\) без остатка, значит кратно 13.

Пусть при \(n = k\) верно, что
\(24^k + 25 \cdot 11^k\) делится на 13.

Докажем для \(n = k + 1\):
\(24^{k+1} + 25 \cdot 11^{k+1} = 24 \cdot 24^k + 25 \cdot 11 \cdot 11^k\).

Вынесем общий множитель:
\(= 11(24^k + 25 \cdot 11^k) + 13 \cdot 24^k\).

По предположению индукции \(24^k + 25 \cdot 11^k\) делится на 13, значит
\(11(24^k + 25 \cdot 11^k)\) делится на 13.

Также \(13 \cdot 24^k\) делится на 13.

Сумма двух чисел, делящихся на 13, делится на 13.
Что и требовалось доказать.