ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 23 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Сколькими способами можно распределить 12 карандашей между 12 учениками?
2. Сколько шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?
3. Сколько нечётных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 так, чтобы в каждом числе цифры были различными?
4. У Саши есть 5 книг по истории, 6 книг по биологии и 3 книги по математике. Сколькими способами он может расставить эти книги на полке так, чтобы книги по одному предмету стояли рядом?

1. Количество перестановок:
\(P_{12} = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2;\)
\(P_{12} = 1320 \cdot 504 \cdot 120 \cdot 6 = 479001600;\)
Ответ: 479001600.

2. Число перестановок:
\(a = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\};\)
\(N = 6 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2;\)
\(N = 36 \cdot 20 \cdot 6 = 4320;\)
Ответ: 4320.

3. Число перестановок:
\(a = \{1; 2; 3; 4\}, A \not\ni 2;\)
\(N = 2P_3 = 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12;\)
Ответ: 12.

4. Количество перестановок:
\(n_1 = 5, n_2 = 6, n_3 = 3, N = P_3 \cdot (P_5 \cdot P_6 \cdot P_3);\)
\(N = 6 \cdot 120 \cdot 720 \cdot 6 = 720 \cdot 4320 = 3110400;\)
Ответ: 3110400.

1. Распределить 12 карандашей между 12 учениками можно так, что каждому ученику достанется ровно один карандаш. Число способов — это число перестановок из 12 элементов, то есть \(P_{12} = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 12!\).
Вычислим:
\(12! = 479001600\).
Ответ: 479001600.

2. Шестизначное число можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Первая цифра не может быть 0, иначе число будет не шестизначным. Значит, для первой цифры есть 6 вариантов (1, 2, 3, 4, 5, 6), для каждой из остальных пяти цифр — 7 вариантов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6).
Число таких чисел:
\(6 \cdot 7^5\).
Вычислим:
\(7^5 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 16807\),
\(6 \cdot 16807 = 100842\).
Ответ: 100842.

3. Нечётные четырёхзначные числа из цифр 1, 2, 3, 4, с различными цифрами. Последняя цифра должна быть нечётной: 1 или 3 (2 варианта). Первая цифра не может быть 0, но здесь 0 нет, значит первая цифра — любая из оставшихся, кроме последней.
Пусть цифры: \(a_1 a_2 a_3 a_4\), где \(a_4\) — нечётная (1 или 3).
Для \(a_4\) — 2 варианта.
Для \(a_1\) — из оставшихся 3 цифр (4 всего минус выбранная для \(a_4\)) — 3 варианта.
Для \(a_2\) — из оставшихся 2 цифр — 2 варианта.
Для \(a_3\) — из оставшихся 1 цифры — 1 вариант.
Число таких чисел:
\(2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 12\).
Ответ: 12.

4. У Саши есть 5 книг по истории, 6 по биологии и 3 по математике. Нужно расставить так, чтобы книги одного предмета стояли рядом. Рассмотрим каждую группу книг как отдельный блок. Тогда у нас 3 блока: история, биология, математика.
Число способов расположить 3 блока: \(3! = 6\).
Внутри каждого блока книги можно переставлять:
История: \(5! = 120\),
Биология: \(6! = 720\),
Математика: \(3! = 6\).
Общее число способов:
\(3! \cdot 5! \cdot 6! \cdot 3! = 6 \cdot 120 \cdot 720 \cdot 6\).
Вычислим:
\(6 \cdot 120 = 720\),
\(720 \cdot 720 = 518400\),
\(518400 \cdot 6 = 3110400\).
Ответ: 3110400.