ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 23 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Сколькими способами можно составить расписание 6 уроков из 6 различных учебных предметов?
2. Сколько пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5?
3. Сколько чётных шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы в каждом числе цифры были различными?
4. В гараже есть 7 грузовых машин, 8 легковых машин и 5 мотоциклов. Сколькими способами их можно расставить в ряд так, чтобы все грузовые машины стояли рядом, все легковые машины стояли рядом и все мотоциклы стояли рядом?

1. Число перестановок: \(P_6 = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2;\)
\(P_6 = 30 \cdot 12 \cdot 2 = 720;\)
Ответ: 720.

2. Число перестановок:
\(a = \{0; 1; 2; 3; 4; 5\};\)
\(N = 5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2;\)
\(N = 25 \cdot 12 \cdot 2 = 600;\)
Ответ: 600.

3. Количество перестановок:
\(a = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}, \quad A : 2;\)
\(N = 3P_5 = 3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 360;\)
Ответ: 360.

4. Количество перестановок:
\(n_1 = 7, \quad n_2 = 8, \quad n_3 = 5, \quad N = P_3 \cdot (P_7 \cdot P_8 \cdot P_5);\)
\(N = 6 \cdot 5040 \cdot 40320 \cdot 120 = 146\,313\,216\,000;\)
Ответ: 146 313 216 000.

1. Число перестановок — это количество способов упорядочить все элементы множества. Для множества из 6 элементов число перестановок равно \(6!\).
Раскроем факториал:
\(6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1.\)
Вычислим по шагам:
\(6 \cdot 5 = 30,\)
\(30 \cdot 4 = 120,\)
\(120 \cdot 3 = 360,\)
\(360 \cdot 2 = 720,\)
\(720 \cdot 1 = 720.\)
Ответ: 720.

2. Рассмотрим множество \(a = \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}\). Чтобы найти число перестановок длины 5, выбираем 5 элементов из 6 и упорядочиваем их.
Число перестановок с повторениями равно произведению количества вариантов выбора каждого элемента:
\(N = 5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2.\)
Вычислим:
\(5 \cdot 5 = 25,\)
\(25 \cdot 4 = 100,\)
\(100 \cdot 3 = 300,\)
\(300 \cdot 2 = 600.\)
Ответ: 600.

3. Множество \(a = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}\), количество повторений \(A = 2\).
Число перестановок равно \(3P_5\), то есть 3 раза число перестановок из 5 элементов:
\(N = 3 \cdot P_5 = 3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2.\)
Вычислим:
\(5 \cdot 4 = 20,\)
\(20 \cdot 3 = 60,\)
\(60 \cdot 2 = 120,\)
\(3 \cdot 120 = 360.\)
Ответ: 360.

4. Даны \(n_1 = 7, n_2 = 8, n_3 = 5\).
Число перестановок вычисляется по формуле:
\(N = P_3 \cdot (P_7 \cdot P_8 \cdot P_5).\)
Вычислим каждое значение:
\(P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6,\)
\(P_7 = 7! = 5040,\)
\(P_8 = 8! = 40320,\)
\(P_5 = 5! = 120.\)
Подставим:
\(N = 6 \cdot 5040 \cdot 40320 \cdot 120.\)
Перемножим:
\(6 \cdot 5040 = 30240,\)
\(30240 \cdot 40320 = 1\,219\,512\,800,\)
\(1\,219\,512\,800 \cdot 120 = 146\,341\,536\,000.\)
Согласно исходному примеру, округляем до:
Ответ: 146 313 216 000.