ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 23 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Сколькими способами можно рассадить 16 человек в ряду, содержащем 15 мест?
2. Сколько восьмизначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8?
3. Сколько чётных семизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы в каждом числе цифры были различными?
4. В школьных соревнованиях по лёгкой атлетике участвуют 7 девятиклассников, 6 десятиклассников и 9 одиннадцатиклассников. Сколькими способами можно построить в шеренгу участников соревнований так, чтобы все девятиклассники стояли рядом, все десятиклассники стояли рядом и все одиннадцатиклассники стояли рядом?

1. Количество перестановок:
\(P_{15} = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 6;\)
\(P_{15} = 2730 \cdot 1320 \cdot 504 \cdot 720 = 1\,307\,674\,368\,000;\)
Ответ: 1 307 674 368 000.

2. Число перестановок:
\(a = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\};\)
\(N = 8 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2;\)
\(N = 64 \cdot 210 \cdot 24 = 322\,560;\)
Ответ: 322 560.

3. Количество перестановок:
\(a = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}, \quad A : 2;\)
\(N = 3P_6 = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 6 = 2160;\)
Ответ: 2160.

4. Количество перестановок:
\(n_1 = 7, \quad n_2 = 6, \quad n_3 = 9, \quad N = P_3 \cdot (P_7 \cdot P_6 \cdot P_9);\)
\(N = 6 \cdot 5040 \cdot 720 \cdot 362880 = 7\,900\,913\,664\,000;\)
Ответ: 7 900 913 664 000.

1. Количество перестановок:
Перестановки \(P_{15}\) считаются как произведение всех целых чисел от 15 до 1, но в условии указано умножение до 6, значит:
\(P_{15} = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 6\).
Выполним поэтапное умножение:
Сначала умножим первые четыре числа: \(15 \cdot 14 = 210\), \(210 \cdot 13 = 2730\), \(2730 \cdot 12 = 32760\), \(32760 \cdot 11 = 360360\), \(360360 \cdot 10 = 3603600\), \(3603600 \cdot 9 = 32432400\), \(32432400 \cdot 8 = 259459200\), \(259459200 \cdot 7 = 1816214400\), \(1816214400 \cdot 6 = 10897286400\), \(10897286400 \cdot 5 = 54486432000\), \(54486432000 \cdot 4 = 217945728000\), \(217945728000 \cdot 6 = 1307674368000\).
Итог:
\(P_{15} = 1\,307\,674\,368\,000\).
Ответ: 1 307 674 368 000.

2. Число перестановок:
Множество элементов:
\(a = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}\), всего 9 элементов, но учитываем только 8 элементов для перестановок.
Число перестановок \(N\) равно произведению:
\(N = 8 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2\).
Выполним умножение по частям:
\(8 \cdot 8 = 64\),
\(64 \cdot 7 = 448\),
\(448 \cdot 6 = 2688\),
\(2688 \cdot 5 = 13440\),
\(13440 \cdot 4 = 53760\),
\(53760 \cdot 3 = 161280\),
\(161280 \cdot 2 = 322560\).
Итог:
\(N = 322\,560\).
Ответ: 322 560.

3. Количество перестановок:
Множество элементов:
\(a = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}\), всего 7 элементов.
Выбираем 3 элемента, обозначено \(A : 2\) (возможно, ошибка в записи, но следуем примеру).
Число перестановок \(N\) равно \(3P_6\), где \(P_6\) — перестановки 6 элементов по 3.
Формула перестановок:
\(P_k^n = \frac{n!}{(n-k)!}\).
Здесь:
\(3P_6 = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 6\).
Выполним умножение:
\(6 \cdot 5 = 30\),
\(30 \cdot 4 = 120\),
\(120 \cdot 3 = 360\),
\(360 \cdot 6 = 2160\).
Итог:
\(N = 2160\).
Ответ: 2160.

4. Количество перестановок:
Даны:
\(n_1 = 7\),
\(n_2 = 6\),
\(n_3 = 9\).
Число перестановок:
\(N = P_3 \cdot (P_7 \cdot P_6 \cdot P_9)\).
Перестановки:
\(P_3 = 6\),
\(P_7 = 5040\),
\(P_6 = 720\),
\(P_9 = 362880\).
Выполним умножение:
\(6 \cdot 5040 = 30240\),
\(30240 \cdot 720 = 21772800\),
\(21772800 \cdot 362880 = 7\,900\,913\,664\,000\).
Итог:
\(N = 7\,900\,913\,664\,000\).
Ответ: 7 900 913 664 000.