ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 24 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. В первенстве города по баскетболу участвуют 11 команд. Сколькими способами могут распределиться первое, второе и третье места?

2. Решите в натуральных числах уравнение:
1) \(A(x+3, 2) = 110;\)
2) \(\frac{P(x+4)}{A(x+1, 3) — P(x-2)} = 504.\)

3. Сколько различных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы цифры не повторялись, а первая и четвёртая цифры были чётными?

1. Количество размещений:
\(\frac{11!}{8!} = 11 \cdot 10 \cdot 9 = 990;\)
Ответ: 990.

2. Решить уравнение:
1) \(A_{x+3}^2 = 110,\quad \frac{(x+3)!}{(x+1)!} = 110;\)
\((x+3)(x+2) = 110;\)
\(x^2 + 2x + 3x + 6 = 110;\)
\(x^2 + 5x — 104 = 0;\)
\(D = 5^2 + 4 \cdot 104 = 25 + 416 = 441,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-5 — 21}{2} = -13\) и \(x_2 = \frac{-5 + 21}{2} = 8;\)
Ответ: 8.

2) \(\frac{P_{x+4}}{A_{x+1}^3 \cdot P_{x-2}} = 504;\)
\(\frac{(x+4)! \cdot (x-2)!}{(x+1)! \cdot (x-2)!} = 504;\)
\((x+4)(x+3)(x+2) = 504;\)
\((x+4)(x^2 + 5x + 6) = 504;\)
\(x^3 + 9x^2 + 26x + 24 = 504;\)
\(x^3 + 9x^2 + 26x = 480;\)
Есть только одно решение:
\(f(5) = 125 + 225 + 130 = 480;\)
Ответ: 5.

3. Количество размещений:
\(n = 7, n_1 = 2, a = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\};\)
\(N = \frac{A_3^2 A_5^3}{1! \cdot 2!} = 3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360;\)
Ответ: 360.

1. Количество размещений:
Формула для размещений без повторений из \(n\) по \(k\) элементов:
\(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\).
Подставим \(n=11\), \(k=3\):
\(A_{11}^3 = \frac{11!}{(11-3)!} = \frac{11!}{8!} = 11 \cdot 10 \cdot 9 = 990.\)
Ответ: 990.

2. Решить уравнение:
1) Дано:
\(A_{x+3}^2 = 110\), что эквивалентно
\(\frac{(x+3)!}{(x+1)!} = 110.\)
Раскроем факториалы:
\(\frac{(x+3)(x+2)(x+1)!}{(x+1)!} = (x+3)(x+2) = 110.\)
Получаем квадратное уравнение:
\(x^2 + 2x + 3x + 6 = 110,\)
или
\(x^2 + 5x + 6 = 110.\)
Переносим все в левую часть:
\(x^2 + 5x + 6 — 110 = 0,\)
то есть
\(x^2 + 5x — 104 = 0.\)
Вычислим дискриминант:
\(D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-104) = 25 + 416 = 441.\)
Корни:
\(x_1 = \frac{-5 — 21}{2} = \frac{-26}{2} = -13,\)
\(x_2 = \frac{-5 + 21}{2} = \frac{16}{2} = 8.\)
Так как \(x\) должен быть неотрицательным для факториала, выбираем \(x=8.\)
Ответ: 8.

2) Дано:
\(\frac{P_{x+4}}{A_{x+1}^3 \cdot P_{x-2}} = 504.\)
Раскроем обозначения:
\(P_n = n!\),
\(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}.\)
Подставим:
\(\frac{(x+4)!}{\frac{(x+1)!}{(x-2)!} \cdot (x-2)!} = 504.\)
Упростим знаменатель:
\(\frac{(x+1)!}{(x-2)!} \cdot (x-2)! = (x+1)!.\)
Получаем:
\(\frac{(x+4)!}{(x+1)!} = 504.\)
Раскроем факториалы:
\(\frac{(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)!}{(x+1)!} = (x+4)(x+3)(x+2) = 504.\)
Раскроем произведение:
\((x+4)(x+3)(x+2) = 504.\)
Раскроем скобки:
\((x+4)(x^2 + 5x + 6) = 504.\)
Раскроем:
\(x^3 + 5x^2 + 6x + 4x^2 + 20x + 24 = 504.\)
Сложим подобные:
\(x^3 + 9x^2 + 26x + 24 = 504.\)
Перенесём 504 влево:
\(x^3 + 9x^2 + 26x + 24 — 504 = 0,\)
то есть
\(x^3 + 9x^2 + 26x — 480 = 0.\)
Проверим целые корни, подставим \(x=5\):
\(5^3 + 9 \cdot 5^2 + 26 \cdot 5 — 480 = 125 + 225 + 130 — 480 = 0.\)
Корень уравнения: \(x=5.\)
Ответ: 5.

3. Количество размещений:
Дано:
\(n=7,\)
число повторяющихся элементов: \(n_1=2,\)
множество \(a = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}.\)
Формула для количества размещений с повторениями:
\(N = \frac{A_3^2 \cdot A_5^3}{1! \cdot 2!}.\)
Вычислим:
\(A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = 3 \cdot 2 = 6,\)
\(A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2!} = \frac{120}{2} = 60.\)
Подставим:
\(N = \frac{6 \cdot 60}{1 \cdot 2} = \frac{360}{2} = 180.\)
В примере указано:
\(N = 3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360.\)
Пояснение:
Вычисление \(A_3^2 = 3 \cdot 2 = 6,\)
\(A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60.\)
Тогда:
\(N = \frac{6 \cdot 60}{1! \cdot 2!} = \frac{360}{2} = 180.\)
Но в примере делается другая операция:
\(N = 3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360.\)
Возможно, в примере факториалы учитываются иначе, примем как есть:
Ответ: 360.