ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 24 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. В девятом классе учится 30 человек. Сколькими способами из них можно выбрать старосту и его заместителя?

2. Решите в натуральных числах уравнение:
1) \( A(x+5, 2) = 182 \);
2) \( \frac{P(x+6)}{A(x+3, 4) — P(x-1)} = 336 \).

3. Сколько четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы цифры не повторялись и последние две цифры были нечётными?

1. Количество размещений:
\( A_{30}^2 = \frac{30!}{28!} = 30 \cdot 29 = 870; \)
Ответ: 870.

2. Решить уравнение:
1) \( A_{x+5}^2 = 182, \quad \frac{(x+5)!}{(x+3)!} = 182; \)
\((x+5)(x+4) = 182; \)
\( x^2 + 4x + 5x + 20 = 182; \)
\( x^2 + 9x — 162 = 0; \)
\( D = 9^2 + 4 \cdot 162 = 81 + 648 = 729, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-9 — 27}{2} = -18 \) и \( x_2 = \frac{-9 + 27}{2} = 9; \)
Ответ: 9.

2) \( \frac{P_{x+6}}{A_{x+3}^4 \cdot P_{x-1}} = 336; \)
\(\frac{(x+6)! \cdot (x-1)!}{(x+3)! \cdot (x-1)!} = 336; \)
\((x+6)(x+5)(x+4) = 336; \)
\((x+4)(x^2 + 11x + 30) = 336; \)
\( x^3 + 15x^2 + 74x + 120 = 336; \)
\( x^3 + 15x^2 + 74x = 216; \)
Есть только одно решение:
\( f(2) = 8 + 60 + 148 = 216; \)
Ответ: 2.

3. Количество размещений:
\( n_3 \subset n_4 + 2, \quad a = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}; \)
\( N = A_3^2 \cdot A_4^2 = \frac{3!}{1!} \cdot \frac{4!}{2!} = 3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3 = 72; \)
Ответ: 72.

1. Количество размещений:
Количество размещений \( A_{30}^2 \) определяется формулой
\( A_{n}^k = \frac{n!}{(n-k)!} \),
где \( n = 30 \), \( k = 2 \).
Подставляем значения:
\( A_{30}^2 = \frac{30!}{28!} = 30 \cdot 29 = 870. \)
Ответ: 870.

2. Решить уравнение:
1) Дано уравнение
\( A_{x+5}^2 = 182, \)
что равносильно
\( \frac{(x+5)!}{(x+3)!} = 182. \)
Раскроем факториалы:
\( \frac{(x+5)(x+4)(x+3)!}{(x+3)!} = (x+5)(x+4) = 182. \)
Раскроем скобки:
\( x^2 + 4x + 5x + 20 = 182, \)
что упрощается до
\( x^2 + 9x + 20 = 182. \)
Переносим все в левую часть:
\( x^2 + 9x + 20 — 182 = 0, \)
\( x^2 + 9x — 162 = 0. \)
Вычислим дискриминант:
\( D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 81 + 648 = 729. \)
Найдём корни:
\( x_1 = \frac{-9 — 27}{2} = \frac{-36}{2} = -18, \)
\( x_2 = \frac{-9 + 27}{2} = \frac{18}{2} = 9. \)
Поскольку \( x \) должен быть неотрицательным для факториала, выбираем
\( x = 9. \)
Ответ: 9.

2) Дано уравнение
\( \frac{P_{x+6}}{A_{x+3}^4 \cdot P_{x-1}} = 336, \)
где \( P_n = n! \) и \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \).
Раскроем выражение:
\( \frac{(x+6)!}{\frac{(x+3)!}{(x-1)!} \cdot (x-1)!} = 336. \)
Упрощаем знаменатель:
\( \frac{(x+3)!}{(x-1)!} \cdot (x-1)! = (x+3)! \).
Значит уравнение становится:
\( \frac{(x+6)!}{(x+3)!} = 336. \)
Раскроем факториалы:
\( (x+6)(x+5)(x+4) = 336. \)
Подставим \( y = x + 4 \), тогда
\( y(y+1)(y+2) = 336. \)
Раскроем:
\( y(y^2 + 3y + 2) = 336, \)
\( y^3 + 3y^2 + 2y = 336. \)
Переносим всё в левую часть:
\( y^3 + 3y^2 + 2y — 336 = 0. \)
Проверим целочисленные корни: \( y=6 \)
\( 6^3 + 3 \cdot 6^2 + 2 \cdot 6 = 216 + 108 + 12 = 336. \)
Значит \( y = 6 \), откуда
\( x + 4 = 6 \Rightarrow x = 2. \)
Ответ: 2.

3. Количество размещений:
Дано множество \( a = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\} \).
Необходимо найти количество размещений
\( N = A_3^2 \cdot A_4^2 = \frac{3!}{1!} \cdot \frac{4!}{2!}. \)
Вычислим:
\( \frac{3!}{1!} = \frac{6}{1} = 6, \)
\( \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12. \)
Произведение:
\( N = 6 \cdot 12 = 72. \)
Ответ: 72.