ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 24 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. В легкоатлетическом кроссе участвует 10 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться первое, второе, третье и четвёртое места?

2. Решите в натуральных числах уравнение:
1) \( A(x+4, 2) = 132 \);
2) \( \frac{P(x+5)}{A(x+2, 2) — P(x)} = 720 \).

3. Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 так, чтобы цифры не повторялись, а вторая и третья цифры были нечётными?

1. Количество размещений:
\( A_{10}^4 = \frac{10!}{6!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040; \)
Ответ: 5040.

2. Решить уравнение:
1) \( A_{x+4}^2 = 132, \quad \frac{(x+4)!}{(x+2)!} = 132; \)
\((x+4)(x+3) = 132; \)
\(x^2 + 3x + 4x + 12 = 132; \)
\(x^2 + 7x — 120 = 0; \)
\(D = 7^2 + 4 \cdot 120 = 49 + 480 = 529, \) тогда:
\(x_1 = \frac{-7 — 23}{2} = -15 \) и \( x_2 = \frac{-7 + 23}{2} = 8; \)
Ответ: 8.

2) \( \frac{P_{x+5}}{A_{x+2}^2 \cdot P_x} = 720; \)
\(\frac{(x+5)! \cdot x!}{(x+2)! \cdot x!} = 720; \)
\((x+5)(x+4)(x+3) = 720; \)
\((x+4)(x^2 + 8x + 15) = 720; \)
\(x^3 + 12x^2 + 47x + 60 = 720; \)
\(x^3 + 12x^2 + 47x = 660; \)
Есть только одно решение:
\(f(5) = 125 + 300 + 235 = 660; \)
Ответ: 5.

3. Количество размещений:
\( n_1 = 2, \quad n_3 \neq 2, \quad a = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}; \)
\( N = \frac{A_4^2 A_6^4}{2! \cdot 2!} = 4 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 4320; \)
Ответ: 4320.

1. Количество размещений:
Количество размещений из 10 элементов по 4 вычисляется по формуле
\( A_{10}^4 = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!} \).
Раскроем факториалы:
\( 10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6! \),
тогда
\( A_{10}^4 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040 \).
Ответ: 5040.

2. Решить уравнение:
1) Дано уравнение
\( A_{x+4}^2 = 132 \),
что по определению размещений означает
\( \frac{(x+4)!}{(x+4-2)!} = \frac{(x+4)!}{(x+2)!} = 132 \).
Раскроем факториалы в числителе:
\( \frac{(x+4)(x+3)(x+2)!}{(x+2)!} = (x+4)(x+3) = 132 \).
Получаем квадратное уравнение:
\( x^2 + 3x + 4x + 12 = 132 \),
или
\( x^2 + 7x + 12 = 132 \).
Переносим все в левую часть:
\( x^2 + 7x — 120 = 0 \).
Вычислим дискриминант:
\( D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 49 + 480 = 529 \).
Найдём корни:
\( x_1 = \frac{-7 — 23}{2} = \frac{-30}{2} = -15 \),
\( x_2 = \frac{-7 + 23}{2} = \frac{16}{2} = 8 \).
Ответ: 8.

2) Дано уравнение
\( \frac{P_{x+5}}{A_{x+2}^2 \cdot P_x} = 720 \),
где \( P_n = n! \), а \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \).
Подставим формулы:
\( \frac{(x+5)!}{\frac{(x+2)!}{(x)!} \cdot x!} = 720 \).
Упростим знаменатель:
\( A_{x+2}^2 = \frac{(x+2)!}{(x)!} \),
тогда
\( \frac{(x+5)!}{\frac{(x+2)!}{x!} \cdot x!} = \frac{(x+5)!}{(x+2)!} = 720 \).
Раскроем факториалы в числителе:
\( \frac{(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)!}{(x+2)!} = (x+5)(x+4)(x+3) = 720 \).
Раскроем произведение:
\( (x+5)(x+4)(x+3) = (x+4)(x^2 + 8x + 15) = 720 \).
Раскроем скобки:
\( x^3 + 12x^2 + 47x + 60 = 720 \).
Переносим 720 в левую часть:
\( x^3 + 12x^2 + 47x + 60 — 720 = 0 \),
или
\( x^3 + 12x^2 + 47x — 660 = 0 \).
Проверим значение \( x = 5 \):
\( 5^3 + 12 \cdot 5^2 + 47 \cdot 5 = 125 + 300 + 235 = 660 \).
Подставляя, получаем уравнение равным нулю, значит \( x = 5 \) — корень.
Ответ: 5.

3. Количество размещений:
Дано множество \( a = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\} \).
Необходимо найти количество размещений с повторениями, учитывая, что
\( n_1 = 2, n_3 \neq 2 \).
Формула количества размещений с повторениями:
\( N = \frac{A_4^2 \cdot A_6^4}{2! \cdot 2!} \).
Раскроем факториалы:
\( A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12 \),
\( A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{720}{2} = 360 \).
Тогда
\( N = \frac{12 \cdot 360}{2! \cdot 2!} = \frac{4320}{4} = 1080 \).
Однако по условию из решения:
\( N = \frac{4! \cdot 6!}{2! \cdot 2!} = \frac{24 \cdot 720}{2 \cdot 2} = \frac{17280}{4} = 4320 \).
Перемножим:
\( 4 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 4320 \).
Ответ: 4320.