ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 24 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. В соревнованиях по толканию ядра участвует 7 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться первое, второе, третье, четвёртое и пятое места?

2. Решите в натуральных числах уравнение:
1) \( A(x+6; 2) = 210 \);
2) \( \frac{P(x+7)}{A(x+4, 8) — P(x-4)} = 990 \).

3. Сколько различных семизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы цифры не повторялись, а вторая и пятая цифры были чётными?

1. Количество размещений:
\( A_7^5 = \frac{7!}{2!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520; \)
Ответ: 2520.

2. Решить уравнение:
1) \( A_{x+6}^2 = 210, \quad \frac{(x+6)!}{(x+4)!} = 210; \)
\((x+6)(x+5) = 210; \)
\(x^2 + 5x + 6x + 30 = 210; \)
\(x^2 + 11x — 180 = 0; \)
\(D = 11^2 + 4 \cdot 180 = 121 + 720 = 841,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-11 — 29}{2} = -20\) и \(x_2 = \frac{-11 + 29}{2} = 9; \)
Ответ: 9.

2) \(\frac{P_{x+7}}{A_{x+4}^8 \cdot P_{x-4}} = 990; \)
\(\frac{(x+7)! \cdot (x-4)!}{(x+4)! \cdot (x-4)!} = 990; \)
\((x+7)(x+6)(x+5) = 990; \)
\((x+5)(x^2 + 13x + 42) = 990; \)
\(x^3 + 18x^2 + 107x + 210 = 990; \)
\(x^3 + 18x^2 + 107x = 780; \)
Есть только одно решение:
\(f(4) = 64 + 288 + 428 = 780; \)
Ответ: 4.

3. Количество размещений:
\(n_2 = 2, n_5 = 2, a = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}; \)
\(N = \frac{4! \cdot 7!}{2! \cdot 2!} = 12 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 30240; \)
Ответ: 30 240.

1. Количество размещений:
Размещения из 7 элементов по 5 считаются по формуле
\( A_7^5 = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!} \).
Вычислим факториалы:
\(7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\), но так как делим на \(2! = 2 \cdot 1\), можно сократить:
\( A_7^5 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520 \).
Ответ: 2520.

2. Решить уравнение:
1) Дано \( A_{x+6}^2 = 210 \), что означает
\( \frac{(x+6)!}{(x+6-2)!} = \frac{(x+6)!}{(x+4)!} = 210 \).
Раскроем факториалы:
\( \frac{(x+6)!}{(x+4)!} = (x+6)(x+5) = 210 \).
Раскроем скобки:
\( x^2 + 5x + 6x + 30 = 210 \),
\( x^2 + 11x + 30 = 210 \),
переносим 210 влево:
\( x^2 + 11x + 30 — 210 = 0 \),
\( x^2 + 11x — 180 = 0 \).
Вычислим дискриминант:
\( D = 11^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 121 + 720 = 841 \).
Найдём корни:
\( x_1 = \frac{-11 — \sqrt{841}}{2} = \frac{-11 — 29}{2} = \frac{-40}{2} = -20 \),
\( x_2 = \frac{-11 + \sqrt{841}}{2} = \frac{-11 + 29}{2} = \frac{18}{2} = 9 \).
Поскольку \(x\) должен быть неотрицательным для факториалов, выбираем \(x=9\).
Ответ: 9.

2) Дано уравнение
\(\frac{P_{x+7}}{A_{x+4}^8 \cdot P_{x-4}} = 990 \).
По определению перестановок и размещений:
\( P_{n} = n! \),
\( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \).
Подставим:
\(\frac{(x+7)!}{\frac{(x+4)!}{(x+4-8)!} \cdot (x-4)!} = 990 \).
Поскольку \(x+4-8 = x-4\), то:
\(\frac{(x+7)!}{\frac{(x+4)!}{(x-4)!} \cdot (x-4)!} = \frac{(x+7)!}{(x+4)!} = 990 \).
Раскроем факториалы:
\(\frac{(x+7)!}{(x+4)!} = (x+7)(x+6)(x+5) = 990 \).
Раскроем:
\((x+7)(x+6)(x+5) = 990 \).
Раскроем скобки:
Сначала \((x+7)(x+6) = x^2 + 13x + 42\),
тогда:
\((x+5)(x^2 + 13x + 42) = 990 \).
Раскроем:
\(x^3 + 13x^2 + 42x + 5x^2 + 65x + 210 = 990 \),
соберём подобные:
\(x^3 + 18x^2 + 107x + 210 = 990 \).
Переносим 990:
\(x^3 + 18x^2 + 107x + 210 — 990 = 0 \),
\(x^3 + 18x^2 + 107x — 780 = 0 \).
Проверим целочисленные корни, подставляя \(x=4\):
\(4^3 + 18 \cdot 4^2 + 107 \cdot 4 — 780 = 64 + 288 + 428 — 780 = 0 \).
Значит, \(x=4\) — единственное решение.
Ответ: 4.

3. Количество размещений:
Дано множество \(a = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}\).
Количество элементов, которые повторяются: \(n_2 = 2, n_5 = 2\).
Формула количества размещений с повторениями:
\( N = \frac{4! \cdot 7!}{2! \cdot 2!} \).
Вычислим:
\(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\),
\(7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040\),
\(2! = 2\).
Подставим:
\(N = \frac{24 \cdot 5040}{2 \cdot 2} = \frac{120960}{4} = 30240\).
Ответ: 30 240.