ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 25 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Упростите выражение \( \frac{14}{n+10} \cdot C_{n+10}^{n+8} \).

2. Решите в натуральных числах уравнение \( A(x+2, 2) + C(x+4, x+2) = 78 \).

3. В классе есть 14 девочек и 16 мальчиков. Сколькими способами можно сформировать команду из 3 девочек и 4 мальчиков для участия в спортивных соревнованиях?

4. Есть 18 шаров, пронумерованных числами от 1 до 18. Сколькими способами можно составить набор из 7 шаров, если шары с номерами 8 и 12 не могут одновременно входить в набор?

1. Упростить выражение:
\[
\frac{14}{n+10} \cdot C_{n+8}^{n+10} = \frac{14}{n+10} \cdot \frac{(n+10)!}{(n+8)! \cdot 2!} = \frac{14}{n+10} \cdot \frac{(n+10)(n+9)}{2} = 7(n+9);
\]
Ответ: \(7(n+9)\).

2. Решить уравнение:
\[
A_{x+2}^2 + C_{x+2}^{x+4} = 78;
\]
\[
\frac{(x+2)!}{x!} + \frac{(x+4)!}{(x+2)! \cdot 2!} = 78;
\]
\[
2(x+2)(x+1) + (x+4)(x+3) = 156;
\]
\[
2x^2 + 6x + 4 + x^2 + 7x + 12 = 156;
\]
\[
3x^2 + 13x — 140 = 0;
\]
\[
D = 13^2 + 4 \cdot 3 \cdot 140 = 169 + 1680 = 1849, \text{ тогда:}
\]
\[
x_1 = \frac{-13 — 43}{2 \cdot 3} = \frac{-56}{6} = -\frac{28}{3}, \quad x_2 = \frac{-13 + 43}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5;
\]
Ответ: 5.

3. Количество сочетаний:
\[
N = C_{14}^3 \cdot C_{16}^4 = \frac{14!}{11! \cdot 3!} \cdot \frac{16!}{12! \cdot 4!};
\]
\[
N = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12}{3 \cdot 2} \cdot \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4 \cdot 3 \cdot 2};
\]
\[
N = 364 \cdot 1820 = 662480;
\]
Ответ: 662480.

4. Количество сочетаний:
\[
N = C_{16}^7 + C_{16}^6 + C_{16}^6 = \frac{16!}{9! \cdot 7!} + \frac{16!}{6! \cdot 10!} + \frac{16!}{6! \cdot 10!};
\]
\[
N = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} + \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} + \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3};
\]
\[
N = 4 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 10 + 4 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 11;
\]
\[
N = 11440 + 16016 = 27456;
\]
Ответ: 27456.

1. Упростить выражение:
Выражение задано как \( \frac{14}{n+10} \cdot C_{n+8}^{n+10} \). По определению сочетаний:
\( C_{n+8}^{n+10} = \frac{(n+10)!}{(n+8)! \cdot 2!} \).
Подставим:
\( \frac{14}{n+10} \cdot \frac{(n+10)!}{(n+8)! \cdot 2!} = \frac{14}{n+10} \cdot \frac{(n+10)(n+9)(n+8)!}{(n+8)! \cdot 2} = \frac{14}{n+10} \cdot \frac{(n+10)(n+9)}{2} \).
Сократим \( n+10 \):
\( = 14 \cdot \frac{n+9}{2} = 7(n+9) \).
Ответ: \( 7(n+9) \).

2. Решить уравнение:
Дано уравнение \( A_{x+2}^2 + C_{x+2}^{x+4} = 78 \).
Подставим формулы:
\( A_{x+2}^2 = \frac{(x+2)!}{x!} = (x+2)(x+1) \),
\( C_{x+2}^{x+4} = \frac{(x+4)!}{(x+2)! \cdot 2!} = \frac{(x+4)(x+3)(x+2)!}{(x+2)! \cdot 2} = \frac{(x+4)(x+3)}{2} \).
Запишем уравнение:
\( (x+2)(x+1) + \frac{(x+4)(x+3)}{2} = 78 \).
Умножим обе части на 2:
\( 2(x+2)(x+1) + (x+4)(x+3) = 156 \).
Раскроем скобки:
\( 2(x^2 + 3x + 2) + (x^2 + 7x + 12) = 156 \).
Раскроем:
\( 2x^2 + 6x + 4 + x^2 + 7x + 12 = 156 \).
Сложим:
\( 3x^2 + 13x + 16 = 156 \).
Перенесём:
\( 3x^2 + 13x — 140 = 0 \).
Вычислим дискриминант:
\( D = 13^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-140) = 169 + 1680 = 1849 \).
Корни:
\( x = \frac{-13 \pm \sqrt{1849}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 \pm 43}{6} \).
Первый корень:
\( x_1 = \frac{-13 — 43}{6} = \frac{-56}{6} = -\frac{28}{3} \) (не подходит, так как \(x\) должен быть целым неотрицательным).
Второй корень:
\( x_2 = \frac{-13 + 43}{6} = \frac{30}{6} = 5 \).
Ответ: 5.

3. Количество сочетаний:
\( N = C_{14}^3 \cdot C_{16}^4 = \frac{14!}{11! \cdot 3!} \cdot \frac{16!}{12! \cdot 4!} \).
Раскроем факториалы:
\( \frac{14 \cdot 13 \cdot 12}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \).
Вычислим:
\( 364 \cdot 1820 = 662480 \).
Ответ: 662480.

4. Количество сочетаний:
\( N = C_{16}^7 + C_{16}^6 + C_{16}^6 = \frac{16!}{9! \cdot 7!} + \frac{16!}{10! \cdot 6!} + \frac{16!}{10! \cdot 6!} \).
Раскроем факториалы:
\( \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} + 2 \cdot \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \).
Вычислим:
\( 11440 + 16016 = 27456 \).
Ответ: 27456.