ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 25 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Упростите выражение \( \frac{14}{n+10} \cdot C_{n+10}^{n+8} \).

2. Решите в натуральных числах уравнение \( A(x+2, 2) + C(x+4, x+2) = 78 \).

3. В классе есть 14 девочек и 16 мальчиков. Сколькими способами можно сформировать команду из 3 девочек и 4 мальчиков для участия в спортивных соревнованиях?

4. Есть 18 шаров, пронумерованных числами от 1 до 18. Сколькими способами можно составить набор из 7 шаров, если шары с номерами 8 и 12 не могут одновременно входить в набор?

1. Упростить выражение:
\(
\frac{12}{n+5} \cdot C_{n+4}^{n+6} = \frac{12}{n+5} \cdot \frac{(n+6)!}{(n+4)! \cdot 2!} = \frac{12}{n+5} \cdot \frac{(n+6)(n+5)}{2} = 6(n+6);
\)
Ответ: \(6(n+6)\).

2. Решить уравнение:
\(
A_{x+1}^2 + C_{x+5}^{x+3} = 97;
\)
\(
\frac{(x+1)!}{(x-1)!} + \frac{(x+5)!}{(x+3)! \cdot 2!} = 97;
\)
\(
2x(x+1) + (x+5)(x+4) = 194;
\)
\(
2x^2 + 2x + x^2 + 9x + 20 = 194;
\)
\(
3x^2 + 11x — 174 = 0;
\)
\(
D = 11^2 + 4 \cdot 3 \cdot 174 = 121 + 2088 = 2209,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-11 — 47}{2 \cdot 3} = \frac{-29}{3}, \quad x_2 = \frac{-11 + 47}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6;
\)
Ответ: 6.

3. Количество сочетаний:
\(
N = C_{15}^5 \cdot C_{10}^3 = \frac{15!}{10! \cdot 5!} \cdot \frac{10!}{7! \cdot 3!};
\)
\(
N = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \cdot \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2};
\)
\(
N = 3003 \cdot 120 = 360360;
\)
Ответ: 360360.

4. Количество сочетаний:
\(
N = C_{14}^5 + C_{14}^4 + C_{14}^4 = \frac{14!}{9! \cdot 5!} + \frac{14!}{10! \cdot 4!} + \frac{14!}{10! \cdot 4!};
\)
\(
N = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} + 2 \cdot \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{4 \cdot 3 \cdot 2};
\)
\(
N = 7 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 2 + 14 \cdot 13 \cdot 11;
\)
\(
N = 2002 + 2002 = 4004;
\)
Ответ: 4004.

1. Упростить выражение:
Дано выражение \(\frac{12}{n+5} \cdot C_{n+4}^{n+6}\). По определению сочетаний:
\(C_{n+4}^{n+6} = \frac{(n+6)!}{(n+4)! \cdot 2!}\).
Подставляем в выражение:
\(\frac{12}{n+5} \cdot \frac{(n+6)!}{(n+4)! \cdot 2!} = \frac{12}{n+5} \cdot \frac{(n+6)(n+5)(n+4)!}{(n+4)! \cdot 2} = \frac{12}{n+5} \cdot \frac{(n+6)(n+5)}{2}\).
Сокращаем \((n+5)\) в числителе и знаменателе:
\(\frac{12}{n+5} \cdot \frac{(n+6)(n+5)}{2} = \frac{12}{1} \cdot \frac{n+6}{2} = 6(n+6)\).
Ответ: \(6(n+6)\).

2. Решить уравнение:
Дано уравнение
\(A_{x+1}^2 + C_{x+5}^{x+3} = 97\).
По определению:
\(A_{x+1}^2 = \frac{(x+1)!}{(x-1)!}\),
\(C_{x+5}^{x+3} = \frac{(x+5)!}{(x+3)! \cdot 2!}\).
Подставляем:
\(\frac{(x+1)!}{(x-1)!} + \frac{(x+5)!}{(x+3)! \cdot 2} = 97\).
Раскроем факториалы:
\(\frac{(x+1) \cdot x \cdot (x-1)!}{(x-1)!} + \frac{(x+5)(x+4)(x+3)!}{(x+3)! \cdot 2} = 97\).
Сокращаем:
\(x(x+1) + \frac{(x+5)(x+4)}{2} = 97\).
Умножим всё на 2:
\(2x(x+1) + (x+5)(x+4) = 194\).
Раскроем скобки:
\(2x^2 + 2x + x^2 + 9x + 20 = 194\).
Сложим подобные:
\(3x^2 + 11x + 20 = 194\).
Переносим 194 в левую часть:
\(3x^2 + 11x — 174 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = 11^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-174) = 121 + 2088 = 2209\).
Извлекаем корень:
\(\sqrt{2209} = 47\).
Находим корни:
\(x_1 = \frac{-11 — 47}{2 \cdot 3} = \frac{-58}{6} = \frac{-29}{3}\),
\(x_2 = \frac{-11 + 47}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6\).
Ответ: 6.

3. Количество сочетаний:
Вычисляем \(N = C_{15}^5 \cdot C_{10}^3\).
По формуле сочетаний:
\(C_{15}^5 = \frac{15!}{10! \cdot 5!}\),
\(C_{10}^3 = \frac{10!}{7! \cdot 3!}\).
Подставляем:
\(N = \frac{15!}{10! \cdot 5!} \cdot \frac{10!}{7! \cdot 3!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1}\).
Вычисляем числитель и знаменатель:
\(\frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{120} \cdot \frac{720}{6} = 3003 \cdot 120 = 360360\).
Ответ: 360360.

4. Количество сочетаний:
Вычисляем
\(N = C_{14}^5 + C_{14}^4 + C_{14}^4\).
По формуле:
\(C_{14}^5 = \frac{14!}{9! \cdot 5!}\),
\(C_{14}^4 = \frac{14!}{10! \cdot 4!}\).
Подставляем:
\(N = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} + 2 \cdot \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\).
Вычисляем:
\(\frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{120} + 2 \cdot \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{24} = 2002 + 2 \cdot 1001 = 2002 + 2002 = 4004\).
Ответ: 4004.