ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 25 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Упростите выражение \( \frac{10}{n+7} — C_{n+7}^{n+5} \).

2. Решите в натуральных числах уравнение \( A_{x+3}^2 + C_{x+6}^{x+4} = 48 \).

3. У Саши есть 12 различных фломастеров и 9 различных карандашей. Сколькими способами он может сформировать набор, состоящий из 4 фломастеров и 2 карандашей?

4. В цехе работает 19 человек. Сколькими способами можно сформировать бригаду из 8 человек, если Иван Николаевич и Николай Иванович не могут входить в бригаду одновременно?

1. Упростить выражение:
\[
\frac{10}{n+7} \cdot C_{n+7}^{n+5} = \frac{10}{n+7} \cdot \frac{(n+7)!}{(n+5)! \cdot 2!} = \frac{10}{n+7} \cdot \frac{(n+7)(n+6)}{2} = 5(n+6);
\]
Ответ: \(5(n+6)\).

2. Решить уравнение:
\[
A_{x+3}^2 + C_{x+6}^{x+4} = 48;
\]
\[
\frac{(x+3)!}{(x+1)!} + \frac{(x+6)!}{(x+4)! \cdot 2!} = 48;
\]
\[
2(x+3)(x+2) + (x+6)(x+5) = 96;
\]
\[
2x^2 + 10x + 12 + x^2 + 11x + 30 = 96;
\]
\[
3x^2 + 21x — 54 = 0;
\]
\[
x^2 + 7x — 18 = 0;
\]
\[
D = 7^2 + 4 \cdot 18 = 49 + 72 = 121,
\]
тогда:
\[
x_1 = \frac{-7 — 11}{2} = -9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-7 + 11}{2} = 2;
\]
Ответ: 2.

3. Количество сочетаний:
\[
N = C_{12}^4 \cdot C_9^2 = \frac{12!}{8! \cdot 4!} \cdot \frac{9!}{7! \cdot 2!};
\]
\[
N = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2} \cdot \frac{9 \cdot 8}{2};
\]
\[
N = 495 \cdot 36 = 17820;
\]
Ответ: 17820.

4. Количество сочетаний:
\[
N = C_{17}^8 + C_{17}^7 + C_{17}^7 = \frac{17!}{9! \cdot 8!} + \frac{17!}{10! \cdot 7!} + \frac{17!}{10! \cdot 7!};
\]
\[
N = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdots 11 \cdot 10}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} + \frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} + \frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3};
\]
\[
N = 17 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 10 + 17 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 11;
\]
\[
N = 24310 + 38896 = 63206;
\]
Ответ: 63206.

1. Упростить выражение:
Дано выражение
\(\frac{10}{n+7} \cdot C_{n+7}^{n+5}\).
По определению сочетаний
\(C_{n+7}^{n+5} = \frac{(n+7)!}{(n+5)! \cdot 2!}\).
Подставим это в выражение:
\(\frac{10}{n+7} \cdot \frac{(n+7)!}{(n+5)! \cdot 2!} = \frac{10}{n+7} \cdot \frac{(n+7)(n+6)(n+5)!}{(n+5)! \cdot 2} = \frac{10}{n+7} \cdot \frac{(n+7)(n+6)}{2}\).
Сократим \((n+7)\) в числителе и знаменателе:
\(\frac{10}{n+7} \cdot \frac{(n+7)(n+6)}{2} = \frac{10(n+6)}{2} = 5(n+6)\).
Ответ: \(5(n+6)\).

2. Решить уравнение:
Дано уравнение
\(A_{x+3}^2 + C_{x+6}^{x+4} = 48\).
По определению перестановок и сочетаний:
\(A_{x+3}^2 = \frac{(x+3)!}{(x+1)!}\),
\(C_{x+6}^{x+4} = \frac{(x+6)!}{(x+4)! \cdot 2!}\).
Подставим в уравнение:
\(\frac{(x+3)!}{(x+1)!} + \frac{(x+6)!}{(x+4)! \cdot 2!} = 48\).
Раскроем факториалы:
\(\frac{(x+3)(x+2)(x+1)!}{(x+1)!} + \frac{(x+6)(x+5)(x+4)!}{(x+4)! \cdot 2} = 48\).
Сократим:
\((x+3)(x+2) + \frac{(x+6)(x+5)}{2} = 48\).
Домножим на 2 для удобства:
\(2(x+3)(x+2) + (x+6)(x+5) = 96\).
Раскроем скобки:
\(2(x^2 + 5x + 6) + (x^2 + 11x + 30) = 96\),
\(2x^2 + 10x + 12 + x^2 + 11x + 30 = 96\).
Сложим:
\(3x^2 + 21x + 42 = 96\).
Вычтем 96:
\(3x^2 + 21x — 54 = 0\).
Разделим на 3:
\(x^2 + 7x — 18 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121\).
Найдём корни:
\(x_1 = \frac{-7 — 11}{2} = -9\),
\(x_2 = \frac{-7 + 11}{2} = 2\).
Ответ: \(2\).

3. Количество сочетаний:
Дано:
\(N = C_{12}^4 \cdot C_9^2 = \frac{12!}{8! \cdot 4!} \cdot \frac{9!}{7! \cdot 2!}\).
Раскроем факториалы:
\(\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1}\).
Вычислим:
\(\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{24} = 495\),
\(\frac{9 \cdot 8}{2} = 36\).
Перемножим:
\(495 \cdot 36 = 17820\).
Ответ: \(17820\).

4. Количество сочетаний:
Дано:
\(N = C_{17}^8 + C_{17}^7 + C_{17}^7 = \frac{17!}{9! \cdot 8!} + \frac{17!}{10! \cdot 7!} + \frac{17!}{10! \cdot 7!}\).
Раскроем факториалы:
\(\frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} + 2 \cdot \frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 / (7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3)}\).
Упростим:
\(\frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{40320} + 2 \cdot \frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{3628800 / 5040}\).
Вычислим отдельно:
\(C_{17}^8 = 24310\),
\(C_{17}^7 = 19448\), тогда
\(N = 24310 + 2 \cdot 19448 = 24310 + 38896 = 63206\).
Ответ: \(63206\).