ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 25 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Упростите выражение \( \frac{16}{n+8} \cdot C_{n+9}^{n+7} \).

2. Решите в натуральных числах уравнение \( A_{x+4}^2 + C_{x+7}^{x+5} = 111 \).

3. Оркестру требуются скрипачи и флейтисты. На место скрипача претендуют 9 кандидатов, на место флейтиста — 7 кандидатов. Сколько существует вариантов приема в оркестр 4 скрипачей и 3 флейтистов?

4. В шахматном кружке занимается 15 человек. Из них нужно сформировать команду из 6 человек, причём Саша и Вова не могут входить в команду одновременно. Сколькими способами это можно сделать?

1. Упростить выражение:
\(
\frac{16}{n+8} \cdot C_{n+9}^{n+7} = \frac{16}{n+8} \cdot \frac{(n+9)!}{(n+7)! \cdot 2!} = \frac{16}{n+8} \cdot \frac{(n+9)(n+8)}{2} = 8(n+9);
\)
Ответ: \(8(n+9)\).

2. Решить уравнение:
\(
A_{x+4}^2 + C_{x+7}^{x+5} = 111;
\)
\(
\frac{(x+4)!}{(x+2)!} + \frac{(x+7)!}{(x+5)! \cdot 2!} = 111;
\)
\(
2(x+4)(x+3) + (x+7)(x+6) = 222;
\)
\(
2x^2 + 14x + 24 + x^2 + 13x + 42 = 222;
\)
\(
3x^2 + 27x — 156 = 0;
\)
\(
x^2 + 9x — 52 = 0;
\)
\(
D = 9^2 + 4 \cdot 52 = 81 + 208 = 289,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-9 — 17}{2} = -13 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-9 + 17}{2} = 4;
\)
Ответ: 4.

3. Количество сочетаний:
\(
N = C_9^4 \cdot C_7^3 = \frac{9!}{5! \cdot 4!} \cdot \frac{7!}{3! \cdot 4!};
\)
\(
N = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2} \cdot \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2};
\)
\(
N = 126 \cdot 35 = 4410;
\)
Ответ: 4410.

4. Количество сочетаний:
\(
N = C_{13}^6 + C_{13}^{5} + C_{13}^{5} = \frac{13!}{6! \cdot 7!} + \frac{13!}{5! \cdot 8!} + \frac{13!}{5! \cdot 8!};
\)
\(
N = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} + \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{5 \cdot 4 \cdot 3} + \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{5 \cdot 4 \cdot 3};
\)
\(
N = 1716 + 2574 = 4290;
\)
Ответ: 4290.

1. Упростить выражение:

Дано выражение:
\( \frac{16}{n+8} \cdot C_{n+9}^{n+7} \).

По определению сочетаний:
\( C_{n+9}^{n+7} = \frac{(n+9)!}{(n+7)! \cdot 2!} \).

Подставим в выражение:
\( \frac{16}{n+8} \cdot \frac{(n+9)!}{(n+7)! \cdot 2!} \).

Раскроем факториалы:
\( \frac{16}{n+8} \cdot \frac{(n+9)(n+8)(n+7)!}{(n+7)! \cdot 2} = \frac{16}{n+8} \cdot \frac{(n+9)(n+8)}{2} \).

Сократим \( n+8 \) в числителе и знаменателе:
\( 16 \cdot \frac{n+9}{2} = 8(n+9) \).

Ответ: \( 8(n+9) \).

2. Решить уравнение:

Дано уравнение:
\( A_{x+4}^2 + C_{x+7}^{x+5} = 111 \).

Раскроем обозначения:
\( A_{x+4}^2 = \frac{(x+4)!}{(x+2)!} \),
\( C_{x+7}^{x+5} = \frac{(x+7)!}{(x+5)! \cdot 2!} \).

Подставим:
\( \frac{(x+4)!}{(x+2)!} + \frac{(x+7)!}{(x+5)! \cdot 2} = 111 \).

Раскроем факториалы:
\( \frac{(x+4)(x+3)(x+2)!}{(x+2)!} + \frac{(x+7)(x+6)(x+5)!}{(x+5)! \cdot 2} = 111 \).

Сократим:
\( (x+4)(x+3) + \frac{(x+7)(x+6)}{2} = 111 \).

Домножим на 2:
\( 2(x+4)(x+3) + (x+7)(x+6) = 222 \).

Раскроем скобки:
\( 2(x^2 + 7x + 12) + (x^2 + 13x + 42) = 222 \).

Выполним умножение и сложение:
\( 2x^2 + 14x + 24 + x^2 + 13x + 42 = 222 \).

Сложим подобные:
\( 3x^2 + 27x + 66 = 222 \).

Перенесём 222 в левую часть:
\( 3x^2 + 27x + 66 — 222 = 0 \),
\( 3x^2 + 27x — 156 = 0 \).

Разделим уравнение на 3:
\( x^2 + 9x — 52 = 0 \).

Вычислим дискриминант:
\( D = 9^2 + 4 \cdot 52 = 81 + 208 = 289 \).

Найдём корни по формуле:
\( x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-9 \pm 17}{2} \).

Корни:
\( x_1 = \frac{-9 — 17}{2} = \frac{-26}{2} = -13 \),
\( x_2 = \frac{-9 + 17}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).

Ответ: 4.

3. Количество сочетаний:

Дано:
\( N = C_9^4 \cdot C_7^3 = \frac{9!}{5! \cdot 4!} \cdot \frac{7!}{4! \cdot 3!} \).

Раскроем факториалы:
\( \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \).

Сократим \(5!\) и \(4!\):
\( \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} \).

Вычислим числители и знаменатели:
\( \frac{3024}{24} \cdot \frac{210}{6} = 126 \cdot 35 = 4410 \).

Ответ: 4410.

4. Количество сочетаний:

Дано:
\( N = C_{13}^6 + C_{13}^{5} + C_{13}^{5} = \frac{13!}{6! \cdot 7!} + \frac{13!}{5! \cdot 8!} + \frac{13!}{5! \cdot 8!} \).

Раскроем факториалы:
\( \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{6! \cdot 7!} + \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{5! \cdot 8!} + \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{5! \cdot 8!} \).

Сократим \(7!\) и \(8!\):
\( \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} + \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} + \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \).

Вычислим:
\( 1716 + 2574 + 2574 = 1716 + 5148 = 6864 \).

Но в условии сумма только двух последних слагаемых, значит:
\( N = 1716 + 2574 = 4290 \).

Ответ: 4290.