ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 28 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. В пенале лежат 12 ручек, из которых 5 синих. Какова вероятность того, что выбранные наугад 3 ручки окажутся синими?

2. В коробке лежат 14 синих карточек, 7 зелёных карточек и 9 белых карточек. Наугад выбирают 10 карточек. Какова вероятность того, что среди выбранных карточек будут 5 синих, 2 зелёных и 3 белых?

3. Наугад выбирают 4 буквы из слова «ДОРОГА». Какова вероятность того, что из выбранных четырёх букв можно составить слово «ГОРА»?

1. Найти вероятность события:
\( n = C_{12}^3 = \frac{12!}{9! \cdot 3!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2} = 220; \)
\( m = C_5^3 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 5 \cdot 2 = 10; \)
\( P(A) = \frac{m}{n} = \frac{10}{220} = \frac{1}{22}; \)
Ответ: \(\frac{1}{22}\).

2. Найти вероятность события:
\( n = C_{30}^{10} = \frac{30!}{20! \cdot 10!} = \frac{30 \cdot 29 \cdot \ldots \cdot 21}{10 \cdot 9 \cdot \ldots \cdot 2}; \)
\( n = 29 \cdot 3 \cdot 13 \cdot 5 \cdot 23 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 7; \)
\( m = C_{14}^5 \cdot C_7^2 \cdot C_9^3 = \frac{14!}{9! \cdot 5!} \cdot \frac{7!}{5! \cdot 2!} \cdot \frac{9!}{3! \cdot 6!}; \)
\( m = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \cdot \frac{7 \cdot 6}{2} \cdot \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2}; \)
\( m = 7 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 7; \)
\( P(A) = \frac{m}{n} = \frac{7 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 4}{29 \cdot 5 \cdot 23} = \frac{392}{3335}; \)
Ответ: \(\frac{392}{3335}\).

3. Вероятность события:
\( n = C_6^4 = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15; \)
\( m = C_1^1 \cdot C_2^1 \cdot C_1^1 \cdot C_1^1 = 2; \)
\( P(A) = \frac{m}{n} = \frac{2}{15}; \)
Ответ: \(\frac{2}{15}\).

В первом задании нам нужно найти вероятность события, которая определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Сначала вычисляем общее количество способов выбрать 3 элемента из 12, что обозначается как \( C_{12}^3 \). Формула для вычисления сочетаний — это \( C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \). Подставляя значения, получаем \( C_{12}^3 = \frac{12!}{3! \cdot 9!} \). Раскроем факториалы: \( 12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9! \), поэтому \( C_{12}^3 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220 \). Это и есть общее количество способов выбрать 3 элемента из 12.

Далее вычисляем количество благоприятных исходов — число способов выбрать 3 элемента из 5, что обозначается \( C_5^3 \). Аналогично используем формулу сочетаний: \( C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} \). Раскрывая факториалы, получаем \( 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3! \), тогда \( C_5^3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \). Это количество благоприятных способов выбрать 3 элемента из 5.

Теперь вероятность события равна отношению благоприятных исходов к общему числу исходов: \( P(A) = \frac{m}{n} = \frac{10}{220} = \frac{1}{22} \). Это значит, что вероятность выбранного события составляет одну двадцать вторую часть от всех возможных вариантов выбора.

Во втором задании сначала определим общее количество способов выбрать 10 элементов из 30, что записывается как \( C_{30}^{10} = \frac{30!}{10! \cdot 20!} \). Для удобства вычислений факториалы можно представить как произведения: \( 30! = 30 \cdot 29 \cdot \ldots \cdot 21 \cdot 20! \), поэтому \( C_{30}^{10} = \frac{30 \cdot 29 \cdot \ldots \cdot 21 \cdot 20!}{10! \cdot 20!} = \frac{30 \cdot 29 \cdot \ldots \cdot 21}{10 \cdot 9 \cdot \ldots \cdot 1} \). Это число очень большое, но для решения задачи важно понимать структуру.

Далее вычисляем количество благоприятных исходов, которое выражается произведением трёх сочетаний: \( m = C_{14}^5 \cdot C_7^2 \cdot C_9^3 \). Каждое из них вычисляется по формуле сочетаний:
\( C_{14}^5 = \frac{14!}{5! \cdot 9!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \),
\( C_7^2 = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} \),
\( C_9^3 = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} \).
Перемножая эти значения, получаем \( m = 7 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 7 \).

Вероятность события равна отношению \( P(A) = \frac{m}{n} = \frac{7 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 4}{29 \cdot 5 \cdot 23} = \frac{392}{3335} \). Это дробь, показывающая, что вероятность события составляет примерно 0.1176, что меньше одной восьмой.

В третьем задании вычисляем общее количество способов выбрать 4 элемента из 6: \( n = C_6^4 = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 \). Это число всех возможных вариантов выбора четырёх элементов из шести. Далее вычисляем количество благоприятных исходов, которое равно произведению нескольких сочетаний \( m = C_1^1 \cdot C_2^1 \cdot C_1^1 \cdot C_1^1 = 2 \). Это означает, что благоприятных вариантов всего два.

Вероятность события равна отношению \( P(A) = \frac{m}{n} = \frac{2}{15} \). Это указывает на то, что выбранное событие имеет вероятность около 0.1333, то есть чуть больше одной восьмой.