ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 28 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. В корзинке лежат 16 яблок, из которых 6 красные. Какова вероятность того, что выбранные наугад 4 яблока окажутся красными?

2. В вазе стоят 9 красных, 6 розовых и 4 белых гвоздики. Наугад выбирают 9 гвоздик. Какова вероятность того, что среди выбранных гвоздик будут 4 красных, 3 розовых и 2 белых гвоздики?

3. Наугад выбирают 4 буквы из слова «СЕРЕДИНА». Какова вероятность того, что из выбранных четырёх букв можно составить слово «СЕРА»?

1. Найти вероятность события:
\(n = C_{16}^4 = \frac{16!}{12! \cdot 4!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4 \cdot 3 \cdot 2} = 1820;\)
\(m = C_6^4 = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 4!} = 30 : 2 = 15;\)
\(P(A) = \frac{m}{n} = \frac{15}{1820} = \frac{3}{364};\)
Ответ: \(\frac{3}{364}.\)

2. Найти вероятность события:
\(n = C_{19}^9 = \frac{19!}{10! \cdot 9!} = \frac{19 \cdot 18 \cdot \ldots \cdot 11}{9 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 2};\)
\(n = 19 \cdot 17 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 11;\)
\(m = C_9^4 \cdot C_6^3 \cdot C_4^2 = \frac{9!}{5! \cdot 4!} \cdot \frac{6!}{3! \cdot 3!} \cdot \frac{4!}{2! \cdot 2!};\)
\(m = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2} \cdot \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2} \cdot \frac{4 \cdot 3}{2} = 3 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 3;\)
\(P(A) = \frac{m}{n} = \frac{3 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{19 \cdot 17 \cdot 13 \cdot 11} = \frac{7560}{46189};\)
Ответ: \(\frac{7560}{46189}.\)

3. Вероятность события:
\(n = C_8^4 = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2} = 70;\)
\(m = C_1^1 \cdot C_2^1 \cdot C_1^1 \cdot C_1^1 = 2 \cdot 1 = 2;\)
\(P(A) = \frac{m}{n} = \frac{2}{70} = \frac{1}{35};\)
Ответ: \(\frac{1}{35}.\)

В первом задании нам нужно найти вероятность события, которая определяется как отношение числа благоприятных исходов \(m\) к общему числу исходов \(n\). Для начала вычислим общее число исходов \(n\), которое равно числу способов выбрать 4 элемента из 16. Это количество сочетаний обозначается как \(C_{16}^4\) и вычисляется по формуле \(C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!}\). Подставляя значения, получаем \(n = \frac{16!}{4! \cdot 12!}\). Чтобы упростить вычисления, раскроем факториалы частично: \(16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13\) — это первые четыре множителя в числителе, а в знаменателе \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\), что дает \(n = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1820\).

Далее нужно найти число благоприятных исходов \(m\), которое равно числу способов выбрать 4 элемента из 6, то есть \(m = C_6^4 = \frac{6!}{4! \cdot 2!}\). Аналогично раскрываем факториалы: в числителе \(6 \cdot 5 \cdot 4!\), а в знаменателе \(4! \cdot 2\), сокращая \(4!\), получаем \(m = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15\). Теперь вероятность события \(P(A)\) равна отношению \(m\) к \(n\), то есть \(P(A) = \frac{15}{1820}\). Упрощая дробь, получаем \(P(A) = \frac{3}{364}\). Таким образом, вероятность того, что выбранные 4 элемента окажутся из группы из 6, составляет \(\frac{3}{364}\).

Во втором задании ситуация более сложная, так как общее число исходов \(n\) — это число способов выбрать 9 элементов из 19, то есть \(n = C_{19}^9 = \frac{19!}{9! \cdot 10!}\). Для удобства вычислений раскрываем факториалы частично, оставляя только нужные множители: числитель — произведение от 19 до 11, знаменатель — произведение от 9 до 2. После сокращения получается \(n = 19 \cdot 17 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 11\). Число благоприятных исходов \(m\) вычисляется как произведение трех сочетаний: \(C_9^4 \cdot C_6^3 \cdot C_4^2\), каждое из которых выражается через факториалы и упрощается. При раскрытии и сокращении множителей получаем \(m = 3 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 3 = 7560\). Вероятность события равна отношению \(m\) к \(n\), то есть \(P(A) = \frac{7560}{19 \cdot 17 \cdot 13 \cdot 11} = \frac{7560}{46189}\). Это точное значение вероятности.

В третьем задании нужно найти вероятность выбора 4 элементов из 8, где благоприятных исходов всего 2. Общее число исходов \(n = C_8^4 = \frac{8!}{4! \cdot 4!}\). Раскрывая факториалы, получаем \(n = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70\). Число благоприятных исходов \(m\) равно произведению четырех сочетаний по одному элементу из каждой группы: \(C_1^1 \cdot C_2^1 \cdot C_1^1 \cdot C_1^1 = 2 \cdot 1 = 2\). Вероятность события вычисляется как отношение \(m\) к \(n\), то есть \(P(A) = \frac{2}{70} = \frac{1}{35}\). Это значит, что вероятность выбранного события равна одной тридцать пятой.