ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 28 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. В классе учится 28 человек, из которых 6 — отличники. Какова вероятность того, что выбранные наугад 3 ученика класса окажутся отличниками?

2. На полке стоят 10 книг по математике, 8 книг по физике и 5 книг по биологии. Наугад выбирают 11 книг. Какова вероятность того, что среди выбранных книг окажутся 6 книг по математике, 3 книги по физике и 2 книги по биологии?

3. Наугад выбирают 4 буквы из слова «СТЕКЛО». Какова вероятность того, что из выбранных четырёх букв можно составить слово «СЕЛО»?

1. Найти вероятность события:
\( n = C_{28}^3 = \frac{28!}{25! \cdot 3!} = \frac{28 \cdot 27 \cdot 26}{3 \cdot 2} = 3276; \)
\( m = C_6^3 = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2} = 5 \cdot 4 = 20; \)
\( P(A) = \frac{m}{n} = \frac{20}{3276} = \frac{5}{819}; \)
Ответ: \(\frac{5}{819}\).

2. Найти вероятность события:
\( n = C_{23}^{11} = \frac{23!}{11! \cdot 12!} = \frac{23 \cdot 22 \cdot \ldots \cdot 13}{11 \cdot 10 \cdot \ldots \cdot 2}; \)
\( n = 23 \cdot 19 \cdot 17 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 13; \)
\( m = C_{10}^6 \cdot C_8^3 \cdot C_5^2 = \frac{10!}{6! \cdot 4!} \cdot \frac{8!}{5! \cdot 3!} \cdot \frac{5!}{2! \cdot 3!}; \)
\( m = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2} \cdot \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2} \cdot \frac{5 \cdot 4}{2}; \)
\( m = 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2; \)
\( P(A) = \frac{m}{n} = \frac{5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 5}{23 \cdot 19 \cdot 17 \cdot 13} = \frac{8400}{96577}; \)
Ответ: \(\frac{8400}{96577}\).

3. Вероятность события:
\( n = C_6^4 = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15; \)
\( m = C_1^1 \cdot C_1^1 \cdot C_1^1 \cdot C_1^1 = 1; \)
\( P(A) = \frac{m}{n} = \frac{1}{15}; \)
Ответ: \(\frac{1}{15}\).

1. Найти вероятность события:

Число всех способов выбрать 3 элемента из 28 равно
\( n = C_{28}^3 = \frac{28!}{25! \cdot 3!} \).
Раскроем факториалы в числителе и знаменателе:
\( n = \frac{28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25!}{25! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{28 \cdot 27 \cdot 26}{3 \cdot 2} \).
Вычислим:
\( n = \frac{19656}{6} = 3276 \).

Число благоприятных исходов — количество способов выбрать 3 элемента из 6:
\( m = C_6^3 = \frac{6!}{3! \cdot 3!} \).
Раскроем факториалы:
\( m = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2} \).
Вычислим:
\( m = \frac{120}{6} = 20 \).

Вероятность события:
\( P(A) = \frac{m}{n} = \frac{20}{3276} = \frac{5}{819} \).

Ответ: \(\frac{5}{819}\).

2. Найти вероятность события:

Общее число способов выбрать 11 элементов из 23 равно
\( n = C_{23}^{11} = \frac{23!}{11! \cdot 12!} \).
Раскроем факториалы в числителе и знаменателе:
\( n = \frac{23 \cdot 22 \cdot \ldots \cdot 13 \cdot 12!}{11! \cdot 12!} = \frac{23 \cdot 22 \cdot \ldots \cdot 13}{11!} \).
Упростим, учитывая разложение 11!:
\( n = 23 \cdot 19 \cdot 17 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 13 \).

Число благоприятных исходов — произведение сочетаний:
\( m = C_{10}^6 \cdot C_8^3 \cdot C_5^2 = \frac{10!}{6! \cdot 4!} \cdot \frac{8!}{5! \cdot 3!} \cdot \frac{5!}{2! \cdot 3!} \).

Раскроем факториалы и упростим:
\( C_{10}^6 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2} = 210 \),
\( C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2} = 56 \),
\( C_5^2 = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \).

Вычислим произведение:
\( m = 210 \cdot 56 \cdot 10 = 117600 \).

Перепишем \( m \) в разложенном виде для сокращения с \( n \):
\( m = 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2 \).

Вероятность события:
\( P(A) = \frac{m}{n} = \frac{5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 5}{23 \cdot 19 \cdot 17 \cdot 13} = \frac{8400}{96577} \).

Ответ: \(\frac{8400}{96577}\).

3. Вероятность события:

Общее число способов выбрать 4 элемента из 6 равно
\( n = C_6^4 = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 \).

Число благоприятных исходов — произведение сочетаний:
\( m = C_1^1 \cdot C_1^1 \cdot C_1^1 \cdot C_1^1 = 1 \).

Вероятность события:
\( P(A) = \frac{m}{n} = \frac{1}{15} \).

Ответ: \(\frac{1}{15}\).