ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 28 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. В классе учится 30 человек, из которых 14 — девочки. Какова вероятность того, что выбранные наугад 4 ученика класса окажутся девочками?

2. Для ремонта купили 12 банок белой краски, 7 банок голубой краски и 4 банки коричневой краски. Наугад выбирают 12 банок краски. Какова вероятность того, что среди выбранных банок будут 5 банок белой краски, 4 банки голубой краски и 3 банки коричневой краски?

3. Наугад выбирают 4 буквы из слова «ПЕРЕВОЗЧИК». Какова вероятность того, что из выбранных четырёх букв можно составить слово «ПЕРО»?

1. Найти вероятность события:
\( n = C_{30}^4 = \frac{30!}{26! \cdot 4!} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27}{4 \cdot 3 \cdot 2} = 27405; \)
\( m = C_{14}^4 = \frac{14!}{10! \cdot 4!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{4 \cdot 3 \cdot 2} = 1001; \)
\( P(A) = \frac{m}{n} = \frac{1001}{27405} = \frac{143}{3915}; \)
Ответ: \(\frac{143}{3915}\).

2. Найти вероятность события:
\( n = C_{23}^{12} = \frac{23!}{12! \cdot 11!} = \frac{23 \cdot 22 \cdot \ldots \cdot 13}{11 \cdot 10 \cdot \ldots \cdot 2}; \)
\( n = 23 \cdot 19 \cdot 17 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 13; \)
\( m = C_{12}^5 \cdot C_7^4 \cdot C_4^3 = \frac{12!}{7! \cdot 5!} \cdot \frac{7!}{4! \cdot 3!} \cdot \frac{4!}{3! \cdot 1!}; \)
\( m = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \cdot \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2} \cdot 4; \)
\( m = 11 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 4; \)
\( P(A) = \frac{m}{n} = \frac{11 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 4}{23 \cdot 19 \cdot 17 \cdot 13} = \frac{7920}{96577}; \)
Ответ: \(\frac{7920}{96577}\).

3. Вероятность события:
\( n = C_{10}^4 = \frac{10!}{6! \cdot 4!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2} = 210; \)
\( m = C_1^1 \cdot C_2^1 \cdot C_1^1 \cdot C_1^1 = 1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2; \)
\( P(A) = \frac{m}{n} = \frac{2}{210} = \frac{1}{105}; \)
Ответ: \(\frac{1}{105}\).

В первом задании нам нужно найти вероятность события, которое связано с выбором 4 объектов из 30. Сначала вычисляем общее количество способов выбрать 4 объекта из 30, используя формулу сочетаний: \( n = C_{30}^4 = \frac{30!}{26! \cdot 4!} \). Чтобы упростить вычисления, сокращаем факториалы, оставляя только произведение чисел от 30 до 27 в числителе и произведение от 4 до 1 в знаменателе: \( n = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 27405 \). Это означает, что всего существует 27405 различных способов выбрать 4 объекта из 30.

Далее, вычисляем количество благоприятных исходов, то есть способов выбрать 4 объекта из 14, что даёт \( m = C_{14}^4 = \frac{14!}{10! \cdot 4!} \). Аналогично сокращаем факториалы и получаем \( m = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1001 \). Теперь вероятность события \( A \) равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов: \( P(A) = \frac{m}{n} = \frac{1001}{27405} \). Чтобы упростить дробь, делим числитель и знаменатель на их общий делитель, получая \( P(A) = \frac{143}{3915} \).

Во втором задании ситуация сложнее, так как нужно выбрать 12 объектов из 23, а затем вычислить количество благоприятных исходов, которые представляют собой произведение нескольких сочетаний. Сначала вычисляем общее количество способов выбрать 12 из 23: \( n = C_{23}^{12} = \frac{23!}{12! \cdot 11!} \). Упрощая, оставляем произведение чисел от 23 до 13 в числителе и от 11 до 1 в знаменателе. Для удобства сокращаем и оставляем только необходимые множители: \( n = 23 \cdot 19 \cdot 17 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 13 \).

Для количества благоприятных исходов \( m \) нужно перемножить три сочетания: \( m = C_{12}^5 \cdot C_7^4 \cdot C_4^3 \). Каждое из них вычисляется по формуле сочетаний:
\( C_{12}^5 = \frac{12!}{7! \cdot 5!} \),
\( C_7^4 = \frac{7!}{4! \cdot 3!} \),
\( C_4^3 = \frac{4!}{3! \cdot 1!} \).
Подставляя значения, получаем:
\( m = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2} \cdot 4 \).
После сокращения множителей:
\( m = 11 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 4 = 7920 \).
Вероятность события равна отношению \( m \) к \( n \):
\( P(A) = \frac{7920}{23 \cdot 19 \cdot 17 \cdot 13} = \frac{7920}{96577} \).

В третьем задании нужно найти вероятность выбора 4 объектов из 10. Общее количество вариантов вычисляется как \( n = C_{10}^4 = \frac{10!}{6! \cdot 4!} \). Сокращая факториалы, получаем:
\( n = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210 \).
Количество благоприятных исходов \( m \) определяется произведением сочетаний с малыми числами:
\( m = C_1^1 \cdot C_2^1 \cdot C_1^1 \cdot C_1^1 = 1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2 \).
Вероятность события равна отношению \( m \) к \( n \):
\( P(A) = \frac{2}{210} = \frac{1}{105} \).