ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 29 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Найдите три первых члена последовательности \((a_n)\), если \(a_1 = -3\), \(a_{n+1} = 3a_n + 2\).

2. Последовательность \((a_n)\) задана формулой n-го члена \(a_n = 6n — 1\). Является ли членом этой последовательности число: 1) 17; 2) 36? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

3. Последовательность \((a_n)\) задана формулой n-го члена \(a_n = n^2 — 4n + 2\). Найдите количество членов этой последовательности, которые меньше числа 14.

4. Найдите все такие значения \(a\), при которых последовательность, заданная условиями \(x_1 = a\), \(x_{n+1} = x_n^2 — 7x_n + 7\), является стационарной.

1. Первые три члена:
\(a_1 = -3, \quad a_{n+1} = 3a_n + 2;\)
\(a_2 = 3a_1 + 2 = -9 + 2 = -7;\)
\(a_3 = 3a_2 + 2 = -21 + 2 = -19;\)
Ответ: \(-3; -7; -19.\)

2. Является членом:
1) \(a_n = 6n — 1 = 17;\)
\(6n = 18, \quad n = 3;\)
Ответ: 3.
2) \(a_n = 6n — 1 = 36;\)
\(6n = 37, \quad n = \frac{37}{6};\)
Ответ: нет.

3. Количество членов:
\(a_n = n^2 — 4n + 2 < 14;\)
\(n^2 — 4n — 12 < 0;\)
\(D = 4^2 + 4 \cdot 12 = 16 + 48 = 64,\) тогда:
\(n_1 = \frac{4 — 8}{2} = -2 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6;\)
\((n + 2)(n — 6) < 0, \quad -2 < n < 6;\)
Ответ: 5.

4. Является стационарной:
\(x_1 = a, \quad x_{n+1} = x_n^2 — 7x_n + 7;\)
\(a = a^2 — 7a + 7;\)
\(a^2 — 8a + 7 = 0;\)
\(D = 8^2 — 4 \cdot 7 = 64 — 28 = 36,\) тогда:
\(a_1 = \frac{8 — 6}{2} = 1 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7;\)
Ответ: 1; 7.

1. Первые три члена:
Дано \(a_1 = -3\) и рекуррентное соотношение \(a_{n+1} = 3a_n + 2\).
Для нахождения второго члена подставим \(n=1\):
\(a_2 = 3a_1 + 2 = 3 \cdot (-3) + 2 = -9 + 2 = -7\).
Для нахождения третьего члена подставим \(n=2\):
\(a_3 = 3a_2 + 2 = 3 \cdot (-7) + 2 = -21 + 2 = -19\).
Ответ: \(-3; -7; -19\).

2. Является членом:
1) Проверим, существует ли \(n\), при котором \(a_n = 6n — 1 = 17\).
Решаем уравнение:
\(6n — 1 = 17\)
\(6n = 18\)
\(n = 3\).
Так как \(n\) целое, ответ: 3.

2) Проверим, существует ли \(n\), при котором \(a_n = 6n — 1 = 36\).
Решаем уравнение:
\(6n — 1 = 36\)
\(6n = 37\)
\(n = \frac{37}{6}\).
Так как \(n\) не целое, ответ: нет.

3. Количество членов:
Дано неравенство для \(a_n\):
\(a_n = n^2 — 4n + 2 < 14\).
Переносим 14 в левую часть:
\(n^2 — 4n + 2 — 14 < 0\)
\(n^2 — 4n — 12 < 0\).
Решаем квадратное неравенство.
Вычисляем дискриминант:
\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64\).
Находим корни:
\(n_1 = \frac{4 — 8}{2} = -2\),
\(n_2 = \frac{4 + 8}{2} = 6\).
Так как коэффициент при \(n^2\) положительный, парабола направлена вверх, значит неравенство \(n^2 — 4n — 12 < 0\) выполняется при \( -2 < n < 6\).
Так как \(n\) — номер члена последовательности, \(n\) — натуральное число, значит \(n = 1, 2, 3, 4, 5\).
Ответ: 5.

4. Является стационарной:
Дано \(x_1 = a\) и рекуррентное соотношение \(x_{n+1} = x_n^2 — 7x_n + 7\).
Стационарное значение \(a\) удовлетворяет уравнению:
\(a = a^2 — 7a + 7\).
Переносим все в одну сторону:
\(a^2 — 7a + 7 — a = 0\)
\(a^2 — 8a + 7 = 0\).
Вычисляем дискриминант:
\(D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 — 28 = 36\).
Находим корни:
\(a_1 = \frac{8 — 6}{2} = 1\),
\(a_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7\).
Ответ: 1; 7.