ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 29 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Найдите три первых члена последовательности \((a_n)\), если \(a_1=2\), \(a_{n+1}=2a_n-3\).

2. Последовательность \((y_n)\) задана формулой n-го члена \(y_n=3-5n\). Является ли членом этой последовательности число: 1) 23; 2) -247? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

3. Последовательность \((a_n)\) задана формулой n-го члена \(a_n = -n^2 + 5n — 5\). Найдите количество членов этой последовательности, которые больше числа -19.

4. Найдите все такие значения \(a\), при которых последовательность, заданная условиями \(x_1 = a\), \(x_{n+1} = x_n^2 — 6x_n + 6\), является стационарной.

1. Первые три члена:
\(a_1 = 2, \quad a_{n+1} = 2a_n — 3;\)
\(a_2 = 2a_1 — 3 = 4 — 3 = 1;\)
\(a_3 = 2a_2 — 3 = 2 — 3 = -1;\)
Ответ: 2; 1; -1.

2. Является членом:
1) \(y_n = 3 — 5n = 23;\)
\(5n = -20, \quad n = -4;\)
Ответ: нет.

2) \(y_n = 3 — 5n = -247;\)
\(5n = 250, \quad n = 50;\)
Ответ: 50.

3. Количество членов:
\(a_n = -n^2 + 5n — 5 > -19;\)
\(n^2 — 5n — 14 < 0;\)
\(D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81,\) тогда:
\(n_1 = \frac{5 — 9}{2} = -2 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7;\)
\((n + 2)(n — 7) < 0, \quad -2 < n < 7;\)
Ответ: 6.

4. Является стационарной:
\(x_1 = a, \quad x_{n+1} = x_n^2 — 6x_n + 6;\)
\(a = a^2 — 6a + 6;\)
\(a^2 — 7a + 6 = 0;\)
\(D = 7^2 — 4 \cdot 6 = 49 — 24 = 25,\) тогда:
\(a_1 = \frac{7 — 5}{2} = 1 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6;\)
Ответ: 1; 6.

1. Первые три члена последовательности заданы следующим образом: \(a_1 = 2\) и рекуррентная формула \(a_{n+1} = 2a_n — 3\). Для нахождения второго члена подставим \(n=1\):
\(a_2 = 2a_1 — 3 = 2 \cdot 2 — 3 = 4 — 3 = 1\).
Для третьего члена подставим \(n=2\):
\(a_3 = 2a_2 — 3 = 2 \cdot 1 — 3 = 2 — 3 = -1\).
Ответ: 2; 1; -1.

2. Проверим, является ли число членом последовательности \(y_n = 3 — 5n\).
1) Пусть \(y_n = 23\), тогда:
\(3 — 5n = 23\)
\(-5n = 23 — 3\)
\(-5n = 20\)
\(n = -4\).
Поскольку \(n\) должно быть целым положительным числом (если не указано иначе), ответ: нет.

2) Пусть \(y_n = -247\), тогда:
\(3 — 5n = -247\)
\(-5n = -247 — 3\)
\(-5n = -250\)
\(n = 50\).
Ответ: 50.

3. Найдём количество членов последовательности \(a_n = -n^2 + 5n — 5\), для которых \(a_n > -19\).
Запишем неравенство:
\(-n^2 + 5n — 5 > -19\)
Переносим все в одну сторону:
\(-n^2 + 5n — 5 + 19 > 0\)
\(-n^2 + 5n + 14 > 0\)
Умножим неравенство на \(-1\) и поменяем знак:
\(n^2 — 5n — 14 < 0\).
Рассчитаем дискриминант:
\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81\).
Найдём корни квадратного уравнения:
\(n_1 = \frac{5 — 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2\),
\(n_2 = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7\).
Неравенство \(n^2 — 5n — 14 < 0\) выполняется при \( -2 < n < 7\).
Количество целых чисел в этом промежутке: 6 (числа -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, но учитывая строгое неравенство, \(n\) целое от -1 до 6 включительно — 6 чисел).
Ответ: 6.

4. Проверим, является ли последовательность стационарной при условии:
\(x_1 = a\),
\(x_{n+1} = x_n^2 — 6x_n + 6\).
Для стационарности \(x_{n+1} = x_n = a\), тогда:
\(a = a^2 — 6a + 6\).
Переносим все слагаемые в одну сторону:
\(a^2 — 7a + 6 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 — 24 = 25\).
Найдём корни:
\(a_1 = \frac{7 — 5}{2} = \frac{2}{2} = 1\),
\(a_2 = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6\).
Ответ: 1; 6.