ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 29 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Найдите три первых члена последовательности \((a_n)\), если \(a_1=5\), \(a_{n+1} = -3a_n + 2\).

2. Последовательность \((b_n)\) задана формулой n-го члена \(b_n = 7n + 1\). Является ли членом этой последовательности число:
1) 36;
2) 41? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

3. Последовательность \((a_n)\) задана формулой n-го члена \(a_n = n^{12} — 6n + 2\). Найдите количество членов этой последовательности, которые меньше числа 18.

4. Найдите все такие значения \(a\), при которых последовательность, заданная условиями \(x_1 = a\), \(x_{n+1} = x_n^{12} — 5x_n + 5\), является стационарной.

1. Первые три члена:
\(a_1 = 5, \quad a_{n+1} = -3a_n + 2;\)
\(a_2 = -3a_1 + 2 = 2 — 15 = -13;\)
\(a_3 = -3a_2 + 2 = 39 + 2 = 41;\)
Ответ: 5; -13; 41.

2. Является членом:
1) \(b_n = 7n + 1 = 36;\)
\(7n = 35, \quad n = 5;\)
Ответ: 5.
2) \(b_n = 7n + 1 = 41;\)
\(7n = 40, \quad n = \frac{40}{7};\)
Ответ: нет.

3. Количество членов:
\(a_n = n^2 — 6n + 2 < 18;\)
\(n^2 — 6n — 16 < 0;\)
\(D = 6^2 + 4 \cdot 16 = 36 + 64 = 100,\) тогда:
\(n_1 = \frac{6 — 10}{2} = -2 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{6 + 10}{2} = 8;\)
\((n + 2)(n — 8) < 0, \quad -2 < n < 8;\)
Ответ: 7.

4. Является стационарной:
\(x_1 = a, \quad x_{n+1} = x_n^2 — 5x_n + 5;\)
\(a = a^2 — 5a + 5;\)
\(a^2 — 6a + 5 = 0;\)
\(D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16,\) тогда:
\(a_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;\)
Ответ: 1; 5.

1. Первые три члена:
Дано: \(a_1 = 5\), рекуррентное соотношение \(a_{n+1} = -3a_n + 2\).
Вычислим \(a_2\):
\(a_2 = -3a_1 + 2 = -3 \cdot 5 + 2 = -15 + 2 = -13\).
Вычислим \(a_3\):
\(a_3 = -3a_2 + 2 = -3 \cdot (-13) + 2 = 39 + 2 = 41\).
Ответ: 5; -13; 41.

2. Является членом:
1) Проверим, входит ли число 36 в последовательность \(b_n = 7n + 1\).
Решаем уравнение:
\(7n + 1 = 36\)
\(7n = 35\)
\(n = \frac{35}{7} = 5\).
Так как \(n\) целое, ответ: 5.
2) Проверим, входит ли число 41 в последовательность \(b_n = 7n + 1\).
Решаем уравнение:
\(7n + 1 = 41\)
\(7n = 40\)
\(n = \frac{40}{7}\), что не является целым числом.
Ответ: нет.

3. Количество членов:
Дано неравенство для членов последовательности \(a_n = n^2 — 6n + 2 < 18\).
Переносим все в одну сторону:
\(n^2 — 6n + 2 < 18 \Rightarrow n^2 — 6n — 16 < 0\).
Рассчитаем дискриминант:
\(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100\).
Найдём корни квадратного уравнения:
\(n_1 = \frac{6 — 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2\),
\(n_2 = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8\).
Так как коэффициент при \(n^2\) положительный, неравенство \(n^2 — 6n — 16 < 0\) выполняется при \(-2 < n < 8\).
Количество натуральных членов в этом промежутке: \(n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\), всего 7 членов.
Ответ: 7.

4. Является стационарной:
Дано: \(x_1 = a\), рекуррентное соотношение \(x_{n+1} = x_n^2 — 5x_n + 5\).
Для стационарного решения \(a\) должно удовлетворять уравнению:
\(a = a^2 — 5a + 5\).
Приведём уравнение к стандартному виду:
\(a^2 — 6a + 5 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16\).
Найдём корни:
\(a_1 = \frac{6 — 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\),
\(a_2 = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5\).
Ответ: 1; 5.