ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 29 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Найдите три первых члена последовательности \((a_n)\), если \(a_1 = 4\), \(a_{n+1} = -2a_n + 4.\)

2. Последовательность \((c_n)\) задана формулой n-го члена \(c_n = 3 — 8n.\) Является ли членом этой последовательности число:
1) 53;
2) 75? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

3. Последовательность \((a_n)\) задана формулой n-го члена \(a_n = -n^2 + 3n — 4.\) Найдите количество членов этой последовательности, которые больше числа -22.

4. Найдите все такие значения \(a\), при которых последовательность, заданная условиями \(x_1 = a\), \(x_{n+1} = x_n^2 — 4x_n + 4\), является стационарной.

1. Первые три члена:
\(a_1 = 4, \quad a_{n+1} = — 2a_n + 4;\)
\(a_2 = — 2a_1 + 4 = 4 — 8 = — 4;\)
\(a_3 = — 2a_2 + 4 = 8 + 4 = 12;\)
Ответ: 4; -4; 12.

2. Является членом:
1) \(c_n = 3 — 8n = 53;\)
\(8n = -50, \quad n = -6,25;\)
Ответ: нет.
2) \(c_n = 3 — 8n = 75;\)
\(8n = -72, \quad n = -9;\)
Ответ: нет.

3. Количество членов:
\(a_n = — n^2 + 3n — 4 > -22;\)
\(n^2 — 3n — 18 < 0;\)
\(D = 3^2 + 4 \cdot 18 = 9 + 72 = 81,\) тогда:
\(n_1 = \frac{3 — 9}{2} = -3 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{3 + 9}{2} = 6;\)
\((n + 3)(n — 6) < 0, \quad -3 < n < 6;\)
Ответ: 5.

4. Является стационарной:
\(x_1 = a, \quad x_{n+1} = x_n^2 — 4x_n + 4;\)
\(a = a^2 — 4a + 4;\)
\(a^2 — 5a + 4 = 0;\)
\(D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9,\) тогда:
\(a_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;\)
Ответ: 1; 4.

1. Первые три члена последовательности вычисляются по формуле рекуррентного соотношения \(a_{n+1} = — 2a_n + 4\) при начальном значении \(a_1 = 4\). Для второго члена:
\(a_2 = — 2a_1 + 4 = — 2 \cdot 4 + 4 = — 8 + 4 = — 4.\)
Для третьего члена:
\(a_3 = — 2a_2 + 4 = — 2 \cdot (-4) + 4 = 8 + 4 = 12.\)
Ответ: 4; -4; 12.

2. Проверка, является ли число членом последовательности с формулой \(c_n = 3 — 8n\).
1) Для \(c_n = 53\):
\(3 — 8n = 53 \Rightarrow -8n = 53 — 3 = 50 \Rightarrow n = — \frac{50}{8} = -6,25.\)
Так как \(n\) не является натуральным числом, ответ: нет.
2) Для \(c_n = 75\):
\(3 — 8n = 75 \Rightarrow -8n = 75 — 3 = 72 \Rightarrow n = — \frac{72}{8} = -9.\)
Опять \(n\) не натуральное число, ответ: нет.

3. Найти количество членов последовательности \(a_n = — n^2 + 3n — 4\), для которых \(a_n > -22\).
Перепишем неравенство:
\(- n^2 + 3n — 4 > -22 \Rightarrow — n^2 + 3n — 4 + 22 > 0 \Rightarrow — n^2 + 3n + 18 > 0.\)
Умножим на -1 и поменяем знак неравенства:
\(n^2 — 3n — 18 < 0.\)
Найдём корни квадратного уравнения \(n^2 — 3n — 18 = 0\).
Дискриминант:
\(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81.\)
Корни:
\(n_1 = \frac{3 — 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3,\)
\(n_2 = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6.\)
Неравенство \(n^2 — 3n — 18 < 0\) выполняется на интервале \(-3 < n < 6.\)
Так как \(n\) — натуральное число, подходящие значения: \(n = 1, 2, 3, 4, 5.\)
Количество членов: 5.

4. Проверка, является ли последовательность стационарной при \(x_1 = a\) и рекуррентном соотношении \(x_{n+1} = x_n^2 — 4x_n + 4\).
Стационарность означает, что \(x_{n+1} = x_n = a\). Тогда:
\(a = a^2 — 4a + 4.\)
Переносим все в одну сторону:
\(a^2 — 5a + 4 = 0.\)
Решаем квадратное уравнение:
\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9.\)
Корни:
\(a_1 = \frac{5 — 3}{2} = \frac{2}{2} = 1,\)
\(a_2 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4.\)
Ответ: 1; 4.