ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 3 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Функция \( f \) нечётная. Может ли выполняться равенство \( f(3) \cdot f(-3) = 4 \)?

2. Исследуйте на чётность функцию:
1) \( y = \frac{x^5 + x^4}{x + 1} \);
2) \( y = x^7 — 3x^2 \);
3) \( y = \sqrt{5 + x} — \sqrt{5 — x} \).

3. Известно, что \( \min_{[-4; -2]} f(x) = -1, \quad \max_{[-4; -2]} f(x) = 3. \) Найдите \( \min_{[2; 4]} f(x) \) и \( \max_{[2; 4]} f(x), \) если:
1) \( f \) — чётная функция;
2) \( f \) — нечётная функция.

4. При каких значениях параметра \( a \) уравнение
\( x^4 — a x^2 + a^2 — 2a — 3 = 0 \)
имеет единственный корень?

1. Дана функция:
\( f(-x) = -f(x); \)
\( f(3) \cdot f(-3) = 4; \)
\( f(3) \cdot (-f(3)) = 4; \)
\( (f(3))^2 = -4; \)
Ответ: нет.

2. Исследовать на четность:
1) \( y = \frac{x^5 + x^4}{x + 1}, \quad x \neq -1; \)
Ответ: общего вида.
2) \( y = x^7 — 3x^2, \quad x \in \mathbb{R}; \)
\( y(-x) = (-x)^7 — 3(-x)^2; \)
\( y(-x) = -x^7 — 3x^2; \)
Ответ: общего вида.
3) \( y = \sqrt{5+x} — \sqrt{5-x}; \)
\( x + 5 \geq 0, \quad x \geq -5; \)
\( 5 — x \geq 0, \quad x \leq 5; \)
\( y(-x) = \sqrt{5 — x} — \sqrt{5 + x}; \)
\( y(-x) = -y(x); \)
Ответ: нечетная.

3. Про функцию \( f \) известно, что:
\( \min_{[-4; -2]} f(x) = -1, \quad \max_{[-4; -2]} f(x) = 3; \)
1) Если \( f \) — четная функция:
\( \min_{[2; 4]} f(x) = -1, \quad \max_{[2; 4]} f(x) = 3; \)
2) Если \( f \) — нечетная функция:
\( \min_{[2; 4]} f(x) = -3, \quad \max_{[2; 4]} f(x) = 1; \)

4. Есть только один корень:
\( x^4 — a x^2 + a^2 — 2a — 3 = 0; \)
Функция является четной:
\( x = 0, \quad a^2 — 2a — 3 = 0; \)
\( D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \) тогда:
\( a_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \) и \( a_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3; \)
Если \( a = -1, \) тогда:
\( x^4 + x^2 = 0, \quad x = 0; \)
Если \( a = 3, \) тогда:
\( x^4 — 3x^2 = 0; \)
\( x^2(x^2 — 3) = 0; \)
\( x_1 = 0, \quad x_2 = \pm \sqrt{3}; \)
Ответ: \(-1.\)

1. Дана функция:
\( f(-x) = -f(x); \)
Из свойства нечетной функции следует, что \( f(-3) = -f(3). \)
Дано: \( f(3) \cdot f(-3) = 4. \) Подставим:
\( f(3) \cdot (-f(3)) = 4, \)
то есть
\( -(f(3))^2 = 4, \)
следовательно
\( (f(3))^2 = -4. \)
Так как квадрат функции не может быть отрицательным числом, равенство невозможно.
Ответ: нет.

2. Исследовать на четность:
1) \( y = \frac{x^5 + x^4}{x + 1}, \quad x \neq -1. \)
Подставим \( -x \):
\( y(-x) = \frac{(-x)^5 + (-x)^4}{-x + 1} = \frac{-x^5 + x^4}{-x + 1}. \)
Так как \( y(-x) \neq y(x) \) и \( y(-x) \neq -y(x), \) функция общего вида.
Ответ: общего вида.

2) \( y = x^7 — 3x^2, \quad x \in \mathbb{R}. \)
Подставим \( -x \):
\( y(-x) = (-x)^7 — 3(-x)^2 = -x^7 — 3x^2. \)
Так как \( y(-x) \neq y(x) \) и \( y(-x) \neq -y(x), \) функция общего вида.
Ответ: общего вида.

3) \( y = \sqrt{5+x} — \sqrt{5-x}; \)
Область определения:
\( x + 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -5, \)
\( 5 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5. \)
Подставим \( -x \):
\( y(-x) = \sqrt{5 — x} — \sqrt{5 + x} = -\left(\sqrt{5 + x} — \sqrt{5 — x}\right) = -y(x). \)
Следовательно, функция нечетная.
Ответ: нечетная.

3. Про функцию \( f \) известно, что:
\( \min_{[-4; -2]} f(x) = -1, \quad \max_{[-4; -2]} f(x) = 3. \)

1) Если \( f \) — четная функция, то:
\( \min_{[2; 4]} f(x) = -1, \quad \max_{[2; 4]} f(x) = 3. \)

2) Если \( f \) — нечетная функция, то:
\( \min_{[2; 4]} f(x) = -3, \quad \max_{[2; 4]} f(x) = 1. \)

4. Есть только один корень:
\( x^4 — a x^2 + a^2 — 2a — 3 = 0. \)
Функция является четной, значит \( x = 0 \) — корень. Подставим:
\( 0^4 — a \cdot 0^2 + a^2 — 2a — 3 = 0 \Rightarrow a^2 — 2a — 3 = 0. \)
Вычислим дискриминант:
\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16. \)
Найдём корни уравнения:
\( a_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad a_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3. \)

Если \( a = -1, \) тогда уравнение:
\( x^4 + x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x^2 + 1) = 0. \)
Корень только \( x = 0. \)

Если \( a = 3, \) тогда уравнение:
\( x^4 — 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x^2 — 3) = 0. \)
Корни:
\( x_1 = 0, \quad x_2 = \pm \sqrt{3}. \)

Так как требуется только один корень, выбираем \( a = -1. \)
Ответ: \(-1.\)