ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 3 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Функция \( f \) чётная. Может ли выполняться равенство \( f(6) \cdot f(-6) = -1 \)?

2. Исследуйте на чётность функцию:
1) \( y = \frac{x^6 + 2x^5}{x + 2} \);
2) \( y = x^4 + x \);
3) \( y = \sqrt{7 — x} + \sqrt{7 + x} \).

3. Известно, что \( \min_{[-6; -3]} f(x) = 1 \), \( \max_{[-6; -3]} f(x) = 4 \). Найдите \( \min_{[3; 6]} f(x) \) и \( \max_{[3; 6]} f(x) \), если:
1) \( f \) — чётная функция;
2) \( f \) — нечётная функция.

4. При каких значениях параметра \( a \) уравнение \( x^4 — a x^2 + a^2 — a — 2 = 0 \) имеет три корня?

1. Дана функция:
\( f(-x) = f(x); \)
\( f(6) \cdot f(-6) = -1; \)
\( f(6) \cdot f(6) = -1; \)
\( (f(6))^2 = -1; \)
Ответ: нет.

2. Исследовать на четность:
1) \( y = \frac{x^6 + 2x^5}{x + 2}, \quad x \neq -2; \)
Ответ: общего вида.
2) \( y = x^4 + x, \quad x \in \mathbb{R}; \)
\( y(-x) = (-x)^4 + (-x); \)
\( y(-x) = x^4 — x; \)
Ответ: общего вида.
3) \( y = \sqrt{7 — x} + \sqrt{7 + x}; \)
\( 7 — x \geq 0, \quad x \leq 7; \)
\( 7 + x \geq 0, \quad x \geq -7; \)
\( y(-x) = \sqrt{7 — (-x)} + \sqrt{7 + (-x)}; \)
\( y(-x) = \sqrt{7 + x} + \sqrt{7 — x} = y(x); \)
Ответ: четная.

3. Про функцию \( f \) известно, что:
\(\min_{[-6; -3]} f(x) = 1, \quad \max_{[-6; -3]} f(x) = 4; \)
1) Если \( f \) — четная функция:
\(\min_{[3; 6]} f(x) = 1, \quad \max_{[3; 6]} f(x) = 4; \)
2) Если \( f \) — нечетная функция:
\(\min_{[3; 6]} f(x) = -4, \quad \max_{[3; 6]} f(x) = -1; \)

4. Существует три корня:
\( x^4 — a x^2 + a^2 — a — 2 = 0; \)
Функция является четной:
\( x = 0, \quad a^2 — a — 2 = 0; \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \) тогда:
\( a_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2; \)
Если \( a = -1 \), тогда:
\( x^4 + x^2 = 0, \quad x = 0; \)
Если \( a = 2 \), тогда:
\( x^4 — 2 x^2 = 0; \)
\( x^2 (x^2 — 2) = 0; \)
\( x_1 = 0, \quad x_2 = \pm \sqrt{2}; \)
Ответ: 2.

1. Дана функция:
Функция \( f \) четная, то есть \( f(-x) = f(x) \). По условию:
\( f(6) \cdot f(-6) = -1 \). Так как функция четная, \( f(-6) = f(6) \), значит:
\( f(6) \cdot f(6) = -1 \), то есть \( (f(6))^2 = -1 \).
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, такого \( f(6) \) не существует.
Ответ: нет.

2. Исследовать на четность:
1) \( y = \frac{x^6 + 2x^5}{x + 2}, \quad x \neq -2 \).
Подставим \( -x \):
\( y(-x) = \frac{(-x)^6 + 2(-x)^5}{-x + 2} = \frac{x^6 — 2x^5}{-x + 2} \).
Это не совпадает с \( y(x) \), следовательно, функция нечетная и нечетная, а общего вида.
Ответ: общего вида.

2) \( y = x^4 + x, \quad x \in \mathbb{R} \).
Подставим \( -x \):
\( y(-x) = (-x)^4 + (-x) = x^4 — x \).
Это не равно \( y(x) = x^4 + x \) и не равно \( -y(x) = -x^4 — x \), значит функция нечетная и нечетная, а общего вида.
Ответ: общего вида.

3) \( y = \sqrt{7 — x} + \sqrt{7 + x} \).
Область определения:
\( 7 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 7 \),
\( 7 + x \geq 0 \Rightarrow x \geq -7 \),
то есть \( x \in [-7, 7] \).
Подставим \( -x \):
\( y(-x) = \sqrt{7 — (-x)} + \sqrt{7 + (-x)} = \sqrt{7 + x} + \sqrt{7 — x} = y(x) \).
Функция четная.
Ответ: четная.

3. Про функцию \( f \) известно, что:
\( \min_{[-6; -3]} f(x) = 1, \quad \max_{[-6; -3]} f(x) = 4 \).

1) Если \( f \) — четная функция, то значения на отрезке \([3;6]\) совпадают с \([-6;-3]\) по модулю аргумента:
\( \min_{[3;6]} f(x) = 1, \quad \max_{[3;6]} f(x) = 4 \).

2) Если \( f \) — нечетная функция, то значения на \([3;6]\) противоположны значениям на \([-6;-3]\):
\( \min_{[3;6]} f(x) = -\max_{[-6;-3]} f(x) = -4, \quad \max_{[3;6]} f(x) = -\min_{[-6;-3]} f(x) =\)
\(= -1 \).

4. Существует три корня уравнения:
\( x^4 — a x^2 + a^2 — a — 2 = 0 \).
Функция четная, значит рассмотрим \( x = 0 \) и уравнение относительно \( a \):
\( a^2 — a — 2 = 0 \).
Дискриминант:
\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \).
Корни для \( a \):
\( a_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad a_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \).

Если \( a = -1 \), тогда уравнение:
\( x^4 + x^2 = 0 \),
\( x^2(x^2 + 1) = 0 \),
корень \( x = 0 \) (два раза), комплексных корней нет.

Если \( a = 2 \), тогда уравнение:
\( x^4 — 2 x^2 + 4 — 2 — 2 = x^4 — 2 x^2 = 0 \),
\( x^2(x^2 — 2) = 0 \),
корни:
\( x_1 = 0, \quad x_2 = \pm \sqrt{2} \).

Ответ: 2.