ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 3 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Функция \(f\) нечётная. Может ли выполняться равенство \(f(2) \cdot f(-2) = 1\)?

2. Исследуйте на чётность функцию:
1) \(y = \frac{x^4 — x^3}{x — 1}\);
2) \(y = x^6 — 2x\);
3) \(y = \sqrt{4 — x} — \sqrt{4 + x}\).

3. Известно, что \(\min_{[-5; -1]} f(x) = -3\), \(\max_{[-5; -1]} f(x) = 2\). Найдите \(\min_{[1; 5]} f(x)\) и \(\max_{[1; 5]} f(x)\), если:
1) \(f\) — чётная функция;
2) \(f\) — нечётная функция.

4. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(x^4 + a x^2 + a^2 + 4a — 5 = 0\) имеет единственный корень?

1. Дана функция:
\(f(-x) = -f(x);\)
\(f(2) \cdot f(-2) = 1;\)
\(f(2) \cdot (-f(2)) = 1;\)
\((f(2))^2 = -1;\)
Ответ: нет.

2. Исследовать на четность:
1) \(y = \frac{x^4 — x^3}{x — 1}, \quad x \neq 1;\)
Ответ: общего вида.
2) \(y = x^6 — 2x, \quad x \in \mathbb{R};\)
\(y(-x) = (-x)^6 — 2(-x);\)
\(y(-x) = x^6 + 2x;\)
Ответ: общего вида.
3) \(y = \sqrt{4 — x} — \sqrt{4 + x};\)
\(4 — x \geq 0, \quad x \leq 4;\)
\(4 + x \geq 0, \quad x \geq -4;\)
\(y(-x) = \sqrt{4 — (-x)} — \sqrt{4 + (-x)};\)
\(y(-x) = \sqrt{4 + x} — \sqrt{4 — x} = -y(x);\)
Ответ: нечетная.

3. Про функцию \(f\) известно, что:
\(\min_{[-5; -1]} f(x) = -3, \quad \max_{[-5; -1]} f(x) = 2;\)
1) Если \(f\) — четная функция:
\(\min_{[1; 5]} f(x) = -3, \quad \max_{[1; 5]} f(x) = 2;\)
2) Если \(f\) — нечетная функция:
\(\min_{[1; 5]} f(x) = -2, \quad \max_{[1; 5]} f(x) = 3;\)

4. Есть только один корень:
\(x^4 + a x^2 + a^2 + 4a — 5 = 0;\)
Функция является четной:
\(x = 0, \quad a^2 + 4a — 5 = 0;\)
\(D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36,\) тогда:
\(a_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1;\)
Если \(a = -5,\) тогда:
\(x^4 — 5 x^2 = 0;\)
\(x^2 (x^2 — 5) = 0;\)
\(x_1 = 0, \quad x_2 = \pm \sqrt{5};\)
Если \(a = 1,\) тогда:
\(x^4 + x^2 = 0, \quad x = 0;\)
Ответ: 1.

1. Дана функция:
По условию \(f(-x) = -f(x)\), значит функция нечётная. Рассмотрим значение функции в точке 2 и -2:
\(f(2) \cdot f(-2) = 1\). По свойству нечётной функции \(f(-2) = -f(2)\), значит:
\(f(2) \cdot (-f(2)) = 1\), откуда
\((f(2))^2 = -1\).
Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, равенство не имеет решений в действительных числах.
Ответ: нет.

2. Исследовать на чётность:
1) \(y = \frac{x^4 — x^3}{x — 1}, \quad x \neq 1\).
Для проверки чётности или нечётности подставим \(-x\):
\(y(-x) = \frac{(-x)^4 — (-x)^3}{-x — 1} = \frac{x^4 + x^3}{-x — 1}\).
Это выражение не совпадает ни с \(y(x)\), ни с \(-y(x)\), значит функция общего вида.
Ответ: общего вида.

2) \(y = x^6 — 2x, \quad x \in \mathbb{R}\).
Подставим \(-x\):
\(y(-x) = (-x)^6 — 2(-x) = x^6 + 2x\).
Так как \(y(-x) \neq y(x)\) и \(y(-x) \neq -y(x)\), функция общего вида.
Ответ: общего вида.

3) \(y = \sqrt{4 — x} — \sqrt{4 + x}\). Область определения:
\(4 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4\),
\(4 + x \geq 0 \Rightarrow x \geq -4\),
значит \(x \in [-4; 4]\).
Подставим \(-x\):
\(y(-x) = \sqrt{4 — (-x)} — \sqrt{4 + (-x)} = \sqrt{4 + x} — \sqrt{4 — x}\).
Это равно \(-y(x)\), значит функция нечётная.
Ответ: нечётная.

3. Известно, что
\(\min_{[-5; -1]} f(x) = -3, \quad \max_{[-5; -1]} f(x) = 2\).

1) Если \(f\) — чётная функция, то по свойству чётности значения функции на \([-5; -1]\) и \([1; 5]\) совпадают:
\(\min_{[1; 5]} f(x) = -3, \quad \max_{[1; 5]} f(x) = 2\).

2) Если \(f\) — нечётная функция, то значения на \([1; 5]\) связаны с отрицательными значениями на \([-5; -1]\) с противоположным знаком:
\(\min_{[1; 5]} f(x) = -2, \quad \max_{[1; 5]} f(x) = 3\).

4. Уравнение:
\(x^4 + a x^2 + a^2 + 4a — 5 = 0\).
Функция чётная, значит рассмотрим \(x=0\):
\(a^2 + 4a — 5 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\).
Найдём корни:
\(a_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5\),
\(a_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1\).

Если \(a = -5\), уравнение принимает вид:
\(x^4 — 5 x^2 = 0\),
или
\(x^2 (x^2 — 5) = 0\).
Корни:
\(x_1 = 0\),
\(x_2 = \pm \sqrt{5}\).
Три корня, значит не один.

Если \(a = 1\), уравнение:
\(x^4 + x^2 + 1^2 + 4 \cdot 1 — 5 = x^4 + x^2 + 1 + 4 — 5 = x^4 + x^2 = 0\),
откуда
\(x^2 (x^2 + 1) = 0\).
Корни:
\(x = 0\) (дважды),
и \(x^2 = -1\) — комплексные корни.
Только один действительный корень \(x=0\).

Ответ: 1.