ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 3 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Функция \( f \) чётная. Может ли выполняться равенство \( f(1) \cdot f(-1) = -1 \)?

2. Исследуйте на чётность функцию:
1) \( y = \frac{x^7 — 2x^6}{x — 2} \);
2) \( y = x^5 + 3x^2 \);
3) \( y = \sqrt{3 + x} + \sqrt{3 — x} \).

3. Известно, что \( \min_{[-6; -4]} f(x) = 2 \), \( \max_{[-6; -4]} f(x) = 7 \). Найдите \( \min_{[4; 6]} f(x) \) и \( \max_{[4; 6]} f(x) \), если:
1) \( f \) — чётная функция;
2) \( f \) — нечётная функция.

4. При каких значениях параметра \( a \) уравнение \( x^4 — a x^2 + a^2 — 2a — 8 = 0 \) имеет три корня?

1. Дана функция:
\( f(-x) = f(x); \)
\( f(1) \cdot f(-1) = -1; \)
\( f(1) \cdot f(1) = -1; \)
\( (f(1))^2 = -1; \)
Ответ: нет.

2. Исследовать на четность:
1) \( y = \frac{x^7 — 2x^6}{x-2}, \quad x \neq 2; \)
Ответ: общего вида.
2) \( y = x^5 + 3x^2, \quad x \in \mathbb{R}; \)
\( y(-x) = (-x)^5 + 3(-x)^2; \)
\( y(-x) = -x^5 + 3x^2; \)
Ответ: общего вида.
3) \( y = \sqrt{3+x} + \sqrt{3-x}; \)
\( 3 + x \geq 0, \quad x \geq -3; \)
\( 3 — x \geq 0, \quad x \leq 3; \)
\( y(-x) = \sqrt{3 + (-x)} + \sqrt{3 — (-x)}; \)
\( y(-x) = \sqrt{3 — x} + \sqrt{3 + x} = y(x); \)
Ответ: четная.

3. Про функцию \( f \) известно, что:
\( \min_{[-6; -4]} f(x) = 2, \quad \max_{[-6; -4]} f(x) = 7; \)
1) Если \( f \) — четная функция:
\( \min_{[4; 6]} f(x) = 2, \quad \max_{[4; 6]} f(x) = 7; \)
2) Если \( f \) — нечетная функция:
\( \min_{[4; 6]} f(x) = -7, \quad \max_{[4; 6]} f(x) = -2; \)

4. Существует три корня:
\( x^4 — a x^2 + a^2 — 2a — 8 = 0; \)
Функция является четной:
\( x = 0, \quad a^2 — 2a — 8 = 0; \)
\( D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36, \) тогда:
\( a_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2 \) и \( a_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4; \)
Если \( a = -2 \), тогда:
\( x^4 + 2x^2 = 0, \quad x = 0; \)
Если \( a = 4 \), тогда:
\( x^4 — 4x^2 = 0; \)
\( x^2 (x^2 — 4) = 0; \)
\( x_1 = 0, \quad x_2 = \pm 2; \)
Ответ: 4.

1. Дана функция:
По условию функция чётная, то есть \( f(-x) = f(x) \). Подставим \( x = 1 \):
\( f(1) \cdot f(-1) = -1 \). Так как функция чётная, \( f(-1) = f(1) \), тогда
\( f(1) \cdot f(1) = (f(1))^2 = -1 \). Квадрат функции не может быть отрицательным числом в области действительных чисел, значит,
решения нет.
Ответ: нет.

2. Исследовать на чётность:
1) \( y = \frac{x^7 — 2x^6}{x — 2}, \quad x \neq 2. \)
Подставим \( -x \):
\( y(-x) = \frac{(-x)^7 — 2(-x)^6}{-x — 2} = \frac{-x^7 — 2x^6}{-x — 2}. \)
Так как знаменатель и числитель меняют знак по-разному, \( y(-x) \neq y(x) \) и \( y(-x) \neq -y(x) \),
значит функция общего вида.
Ответ: общего вида.

2) \( y = x^5 + 3x^2, \quad x \in \mathbb{R}. \)
Подставим \( -x \):
\( y(-x) = (-x)^5 + 3(-x)^2 = -x^5 + 3x^2. \)
Это не равно \( y(x) \) и не равно \( -y(x) \), значит функция общего вида.
Ответ: общего вида.

3) \( y = \sqrt{3 + x} + \sqrt{3 — x}. \)
Область определения:
\( 3 + x \geq 0 \Rightarrow x \geq -3, \)
\( 3 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3. \)
Подставим \( -x \):
\( y(-x) = \sqrt{3 — x} + \sqrt{3 + x} = y(x). \)
Функция чётная.
Ответ: чётная.

3. Про функцию \( f \) известно, что:
\( \min_{[-6; -4]} f(x) = 2, \quad \max_{[-6; -4]} f(x) = 7. \)

1) Если \( f \) — чётная функция:
Тогда значения функции симметричны относительно \( x=0 \), поэтому
\( \min_{[4; 6]} f(x) = 2, \quad \max_{[4; 6]} f(x) = 7. \)

2) Если \( f \) — нечётная функция:
Тогда
\( \min_{[4; 6]} f(x) = — \max_{[-6; -4]} f(x) = -7, \)
\( \max_{[4; 6]} f(x) = — \min_{[-6; -4]} f(x) = -2. \)

4. Существует три корня:
\( x^4 — a x^2 + a^2 — 2a — 8 = 0. \)
Функция чётная, значит все степени \( x \) чётные, что соответствует уравнению.

Подставим \( x = 0 \):
\( a^2 — 2a — 8 = 0. \)
Дискриминант:
\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36. \)
Корни уравнения:
\( a_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2, \quad a_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4. \)

Если \( a = -2 \), тогда:
\( x^4 + 2x^2 = 0, \)
\( x^2 (x^2 + 2) = 0. \)
Корни:
\( x = 0 \) (кратность два), другие корни комплексные.

Если \( a = 4 \), тогда:
\( x^4 — 4x^2 = 0, \)
\( x^2 (x^2 — 4) = 0. \)
Корни:
\( x_1 = 0, \quad x_2 = \pm 2. \)

Всего корней три: \( 0, 2, -2. \)
Ответ: 4.