ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 30 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии \(5,3; 4,9; 4,5; \ldots\).

2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии \((a_n)\), если \(a_4 + a_8 = 35\) и \(a_3 + a_{21} = 65\).

3. При каком значении \(n\) значения выражений \(n^2\), \(2n + 3\), \(3n + 4\) и \(n^2 + n + 7\) будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите эти члены прогрессии.

1. 5,3; 4,9; 4,5; …;
Отрицательный член:
\(a_1 = 5,3\), \(a_2 = 4,9\);
\(d = 4,9 — 5,3 = -0,4\);
\(a_n = a_1 + d(n-1) < 0\); \(5,3 - 0,4(n-1) < 0\); \(5,3 - 0,4n + 0,4 < 0\); \(0,4n > 5,7\), \(n > 14,25\);
Ответ: 15.
2. Известно следующее:
\(a_4 + a_8 = 35\), \(a_3 + a_{21} = 65\);
Из первого уравнения:
\(a_1 + 3d + a_1 + 7d = 35\);
\(2a_1 + 10d = 35\);
\(2a_1 = 35 — 10d\);
\(a_1 = 17,5 — 5d\);
Из второго уравнения:
\(a_1 + 2d + a_1 + 20d = 65\);
\(2a_1 + 22d = 65\);
\(35 + 12d = 65\);
\(12d = 30\), \(d = 2,5\);
\(a_1 = 17,5 — 12,5 = 5\);
Ответ: \(a_1 = 5\); \(d = 2,5\).
3. Заданы члены прогрессии:
\(n^2\), \(2n + 3\), \(3n + 4\), \(n^2 + n + 7\);
Первое равенство:
\(
2n + 3 = \frac{n^2 + 3n + 4}{2};
\)
\(
4n + 6 = n^2 + 3n + 4;
\)
\(
n^2 — n — 2 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}
\)
\(
n_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)
Второе равенство:
\(
3n + 4 = \frac{2n + 3 + n^2 + n + 7}{2};
\)
\(
6n + 8 = n^2 + 3n + 10;
\)
\(
n^2 — 3n + 2 = 0;
\)
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \text{ тогда:}
\)
\(
n_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;
\)
Члены прогрессии:
\(
a_1 = 2^2 = 4;
\)
\(
a_2 = 4 + 3 = 7;
\)
\(
a_3 = 6 + 4 = 10;
\)
\(
a_4 = 4 + 2 + 7 = 13;
\)
Ответ: \(n = 2\); \(4, 7, 10, 13\).

1. Дана арифметическая прогрессия с первыми двумя членами \(a_1 = 5,3\) и \(a_2 = 4,9\). Разность прогрессии вычисляется как
\(d = a_2 — a_1 = 4,9 — 5,3 = -0,4\).
Общий член прогрессии выражается формулой
\(a_n = a_1 + d(n-1)\).
Для нахождения номера первого отрицательного члена необходимо решить неравенство
\(a_n < 0\), то есть
\(5,3 — 0,4(n-1) < 0\).
Раскроем скобки:
\(5,3 — 0,4n + 0,4 < 0\),
что эквивалентно
\(0,4n > 5,7\).
Отсюда
\(n > \frac{5,7}{0,4} = 14,25\).
Поскольку \(n\) — натуральное число, то первый отрицательный член будет иметь номер 15.
Ответ: 15.

2. Известно, что
\(a_4 + a_8 = 35\),
\(a_3 + a_{21} = 65\).
Запишем члены прогрессии через первый член \(a_1\) и разность \(d\):
\(a_4 = a_1 + 3d\),
\(a_8 = a_1 + 7d\),
\(a_3 = a_1 + 2d\),
\(a_{21} = a_1 + 20d\).
Подставим в первое уравнение:
\(a_1 + 3d + a_1 + 7d = 35\),
\(2a_1 + 10d = 35\),
откуда
\(2a_1 = 35 — 10d\),
\(a_1 = 17,5 — 5d\).
Подставим во второе уравнение:
\(a_1 + 2d + a_1 + 20d = 65\),
\(2a_1 + 22d = 65\).
Подставим выражение для \(a_1\):
\(2(17,5 — 5d) + 22d = 65\),
\(35 — 10d + 22d = 65\),
\(35 + 12d = 65\),
\(12d = 30\),
\(d = 2,5\).
Подставим \(d\) обратно для нахождения \(a_1\):
\(a_1 = 17,5 — 5 \cdot 2,5 = 17,5 — 12,5 = 5\).
Ответ: \(a_1 = 5\), \(d = 2,5\).

3. Даны члены прогрессии:
\(n^2\),
\(2n + 3\),
\(3n + 4\),
\(n^2 + n + 7\).
Первое равенство:
\(2n + 3 = \frac{n^2 + 3n + 4}{2}\).
Домножим обе части на 2:
\(4n + 6 = n^2 + 3n + 4\).
Перенесём все в левую часть:
\(n^2 + 3n + 4 — 4n — 6 = 0\),
\(n^2 — n — 2 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\).
Найдём корни:
\(n_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1\),
\(n_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2\).
Второе равенство:
\(3n + 4 = \frac{2n + 3 + n^2 + n + 7}{2}\).
Домножим на 2:
\(6n + 8 = n^2 + 3n + 10\).
Переносим всё в левую часть:
\(n^2 + 3n + 10 — 6n — 8 = 0\),
\(n^2 — 3n + 2 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\).
Найдём корни:
\(n_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1\),
\(n_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2\).
Проверяем члены прогрессии при \(n = 2\):
\(a_1 = 2^2 = 4\),
\(a_2 = 4 + 3 = 7\),
\(a_3 = 6 + 4 = 10\),
\(a_4 = 4 + 2 + 7 = 13\).
Ответ: \(n = 2\); \(4, 7, 10, 13\).