ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 30 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии \(-3,6; -3,3; -3; \ldots\).

2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии \((a_n)\), если \(a_5 + a_{13} = 38\) и \(a_4 + a_8 = 29\).

3. При каком значении \(b\) значения выражений \(3b + 1\), \(4b — 1\), \(b^2 + b\) и \(b^2 + b + 1\) будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите эти члены прогрессии.

1. -3,6; -3,3; -3; …;
Положительный член:
\(a_1 = -3,6, \quad a_2 = -3,3;\)
\(d = -3,3 + 3,6 = 0,3;\)
\(a_n = a_1 + d(n — 1) > 0;\)
\(-3,6 + 0,3(n — 1) > 0;\)
\(0,3n — 0,3 — 3,6 > 0;\)
\(0,3n > 3,9, \quad n > 13;\)
Ответ: 14.

2. Известно следующее:
\(a_5 + a_{13} = 38,\quad a_4 + a_8 = 29;\)
Из первого уравнения:
\(a_1 + 4d + a_1 + 12d = 38;\)
\(2a_1 + 16d = 38;\)
\(a_1 + 8d = 19;\)
\(a_1 = 19 — 8d;\)
Из второго уравнения:
\(a_1 + 3d + a_1 + 7d = 29;\)
\(2a_1 + 10d = 29;\)
\(38 — 6d = 29;\)
\(6d = 9, \quad d = 1,5;\)
\(a_1 = 19 — 12 = 7;\)
Ответ: \(a_1 = 7; \quad d = 1,5.\)

3. Заданы члены прогрессии:
\(3b + 1, \quad 4b — 1, \quad b^2 + b, \quad b^2 + b + 1;\)
Первое равенство:
\[
4b — 1 = \frac{3b + 1 + b^2 + b}{2};
\]
\(8b — 2 = b^2 + 4b + 1;\)
\(b^2 — 4b + 3 = 0;\)
\(D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4,\) тогда:
\[
b_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad b_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;
\]

Второе равенство:
\[
b^2 + b = \frac{4b — 1 + b^2 + b + 1}{2};
\]
\(2b^2 + 2b = b^2 + 5b;\)
\(b^2 — 3b = 0;\)
\(b(b — 3) = 0;\)
\(b_1 = 0, \quad b_2 = 3;\)
Члены прогрессии:
\(a_1 = 9 + 1 = 10;\)
\(a_2 = 12 — 1 = 11;\)
\(a_3 = 9 + 3 = 12;\)
\(a_4 = 9 + 3 + 1 = 13;\)
Ответ: \(b = 3; \quad 10, 11, 12, 13.\)

1. Дан ряд: \(-3,6; -3,3; -3; \ldots\)
Определяем первый член прогрессии: \(a_1 = -3,6\) и второй член \(a_2 = -3,3\).
Находим разность прогрессии: \(d = a_2 — a_1 = -3,3 + 3,6 = 0,3\).
Общее выражение для \(n\)-го члена: \(a_n = a_1 + d(n — 1)\).
Требуется найти \(n\), при котором \(a_n > 0\), то есть:
\(a_1 + d(n — 1) > 0\).
Подставляем значения:
\(-3,6 + 0,3(n — 1) > 0\).
Раскрываем скобки:
\(-3,6 + 0,3n — 0,3 > 0\),
или
\(0,3n — 3,9 > 0\).
Переносим:
\(0,3n > 3,9\),
делим обе части на 0,3:
\(n > 13\).
Поскольку \(n\) — целое число, минимальное значение \(n\), при котором член прогрессии положителен, равно 14.
Ответ: 14.

2. Известно:
\(a_5 + a_{13} = 38\),
\(a_4 + a_8 = 29\).
Выражаем данные через первый член и разность:
\(a_5 = a_1 + 4d\),
\(a_{13} = a_1 + 12d\),
тогда первое уравнение:
\(a_1 + 4d + a_1 + 12d = 38\),
собираем подобные:
\(2a_1 + 16d = 38\).
Делим на 2:
\(a_1 + 8d = 19\),
отсюда
\(a_1 = 19 — 8d\).
Из второго уравнения:
\(a_4 = a_1 + 3d\),
\(a_8 = a_1 + 7d\),
тогда
\(a_4 + a_8 = a_1 + 3d + a_1 + 7d = 2a_1 + 10d = 29\).
Подставляем \(a_1\) из первого уравнения:
\(2(19 — 8d) + 10d = 29\),
раскрываем скобки:
\(38 — 16d + 10d = 29\),
собираем:
\(38 — 6d = 29\),
переносим:
\(-6d = 29 — 38 = -9\),
делим:
\(d = \frac{9}{6} = 1,5\).
Подставляем \(d\) обратно:
\(a_1 = 19 — 8 \times 1,5 = 19 — 12 = 7\).
Ответ: \(a_1 = 7\); \(d = 1,5\).

3. Даны члены прогрессии:
\(3b + 1, \quad 4b — 1, \quad b^2 + b, \quad b^2 + b + 1\).
Первое равенство для прогрессии:
\(4b — 1 = \frac{3b + 1 + b^2 + b}{2}\).
Умножаем обе части на 2:
\(2(4b — 1) = 3b + 1 + b^2 + b\),
\(8b — 2 = b^2 + 4b + 1\).
Переносим все в левую часть:
\(b^2 + 4b + 1 — 8b + 2 = 0\),
собираем:
\(b^2 — 4b + 3 = 0\).
Вычисляем дискриминант:
\(D = (-4)^2 — 4 \times 1 \times 3 = 16 — 12 = 4\).
Корни:
\(b_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1\),
\(b_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3\).

Второе равенство:
\(b^2 + b = \frac{4b — 1 + b^2 + b + 1}{2}\).
Умножаем обе части на 2:
\(2b^2 + 2b = 4b — 1 + b^2 + b + 1\),
\(2b^2 + 2b = b^2 + 5b\).
Переносим в левую часть:
\(2b^2 + 2b — b^2 — 5b = 0\),
\(b^2 — 3b = 0\),
выносим \(b\) за скобки:
\(b(b — 3) = 0\).
Корни:
\(b_1 = 0\),
\(b_2 = 3\).

Выбираем \(b = 3\) (так как \(b = 0\) не подходит для прогрессии).
Вычисляем члены прогрессии:
\(a_1 = 3b + 1 = 3 \times 3 + 1 = 10\),
\(a_2 = 4b — 1 = 4 \times 3 — 1 = 11\),
\(a_3 = b^2 + b = 9 + 3 = 12\),
\(a_4 = b^2 + b + 1 = 9 + 3 + 1 = 13\).
Ответ: \(b = 3; \quad 10, 11, 12, 13\).