ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 30 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии 2; 1,8; 1,6; … .

2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии \((a_n)\), если \(a_3 + a_5 = 2\) и \(a_7 + a_{10} = 4\).

3. При каком значении \(y\) значения выражений \(y^2 + 2\), \(4y + 2\), \(3y + 6\) и \(y^2 — 4y + 18\) будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите эти члены прогрессии.

1. 2; 1,8; 1,6; …;
Отрицательный член:
\(a_1 = 2, a_2 = 1,8;\)
\(d = 1,8 — 2 = -0,2;\)
\(a_n = a_1 + d(n — 1) < 0;\) \(2 - 0,2(n - 1) < 0;\) \(2 - 0,2n + 0,2 < 0;\) \(0,2n > 2,2, \quad n > 11;\)
Ответ: 12.

2. Известно следующее:
\(a_3 + a_5 = -2, \quad a_7 + a_{10} = 4;\)
Из первого уравнения:
\(a_1 + 2d + a_1 + 4d = -2;\)
\(2a_1 + 6d = -2;\)
\(a_1 + 3d = -1;\)
\(a_1 = -3d — 1;\)
Из второго уравнения:
\(a_1 + 6d + a_1 + 9d = 4;\)
\(2a_1 + 15d = 4;\)
Подставляем \(a_1\):
\(2(-3d — 1) + 15d = 4;\)
\(-6d — 2 + 15d = 4;\)
\(9d — 2 = 4;\)
\(9d = 6, \quad d = \frac{2}{3};\)
\(a_1 = -3 \cdot \frac{2}{3} — 1 = -2 — 1 = -3;\)
Ответ: \(a_1 = -3; \quad d = \frac{2}{3}.\)

3. Заданы члены прогрессии:
\(y^2 + 2, \quad 4y + 2, \quad 3y + 6, \quad y^2 — 4y + 18;\)
Первое равенство:
\(4y + 2 = \frac{y^2 + 2 + 3y + 6}{2};\)
\(8y + 4 = y^2 + 3y + 8;\)
\(y^2 — 5y + 4 = 0;\)
\(D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9,\) тогда:
\(y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;\)
Второе равенство:
\(3y + 6 = \frac{4y + 2 + y^2 — 4y + 18}{2};\)
\(6y + 12 = y^2 + 20;\)
\(y^2 — 6y + 8 = 0;\)
\(D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4,\) тогда:
\(y_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4;\)
Члены прогрессии:
\(a_1 = 16 + 2 = 18;\)
\(a_2 = 16 + 2 = 18;\)
\(a_3 = 12 + 6 = 18;\)
\(a_4 = 16 — 16 + 18 = 18;\)
Ответ: \(y = 4; \quad 18, 18, 18, 18.\)

1. Дана прогрессия: 2; 1,8; 1,6; …;
Первый член прогрессии \(a_1 = 2\), второй член \(a_2 = 1,8\).
Найдем разность прогрессии:
\(d = a_2 — a_1 = 1,8 — 2 = -0,2\).
Общее выражение для \(n\)-го члена арифметической прогрессии:
\(a_n = a_1 + d(n — 1)\).
Нужно найти номер первого отрицательного члена, то есть решить неравенство:
\(a_n < 0\), то есть \(2 - 0,2(n - 1) < 0\). Раскроем скобки: \(2 - 0,2n + 0,2 < 0\), \(2,2 - 0,2n < 0\), Переносим: \(-0,2n < -2,2\), Домножаем на \(-1\) и меняем знак неравенства: \(0,2n > 2,2\),
Делим на 0,2:
\(n > \frac{2,2}{0,2} = 11\).
Поскольку \(n\) — натуральное число, первый отрицательный член будет при \(n = 12\).
Ответ: 12.

2. Известно:
\(a_3 + a_5 = -2\),
\(a_7 + a_{10} = 4\).
Выразим члены прогрессии через \(a_1\) и \(d\):
\(a_3 = a_1 + 2d\),
\(a_5 = a_1 + 4d\),
\(a_7 = a_1 + 6d\),
\(a_{10} = a_1 + 9d\).
Подставим в первое уравнение:
\(a_3 + a_5 = (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) = 2a_1 + 6d = -2\).
Поделим на 2:
\(a_1 + 3d = -1\),
отсюда
\(a_1 = -1 — 3d\).
Подставим во второе уравнение:
\(a_7 + a_{10} = (a_1 + 6d) + (a_1 + 9d) = 2a_1 + 15d = 4\).
Подставляем \(a_1\):
\(2(-1 — 3d) + 15d = 4\),
раскроем скобки:
\(-2 — 6d + 15d = 4\),
\(9d — 2 = 4\),
\(9d = 6\),
\(d = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\).
Подставим \(d\) в выражение для \(a_1\):
\(a_1 = -1 — 3 \cdot \frac{2}{3} = -1 — 2 = -3\).
Ответ: \(a_1 = -3\), \(d = \frac{2}{3}\).

3. Даны члены прогрессии:
\(y^2 + 2,\)
\(4y + 2,\)
\(3y + 6,\)
\(y^2 — 4y + 18\).
Первое равенство:
\(4y + 2 = \frac{y^2 + 2 + 3y + 6}{2}\).
Домножим обе части на 2:
\(8y + 4 = y^2 + 3y + 8\).
Перенесем все в левую часть:
\(y^2 + 3y + 8 — 8y — 4 = 0\),
\(y^2 — 5y + 4 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9\).
Корни уравнения:
\(y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1\),
\(y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4\).
Второе равенство:
\(3y + 6 = \frac{4y + 2 + y^2 — 4y + 18}{2}\).
Домножим на 2:
\(6y + 12 = y^2 + 20\).
Перенесем все в левую часть:
\(y^2 + 20 — 6y — 12 = 0\),
\(y^2 — 6y + 8 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4\).
Корни уравнения:
\(y_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2\),
\(y_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4\).
Выбираем общий корень для обеих уравнений \(y = 4\).
Члены прогрессии:
\(a_1 = 16 + 2 = 18\),
\(a_2 = 16 + 2 = 18\),
\(a_3 = 12 + 6 = 18\),
\(a_4 = 16 — 16 + 18 = 18\).
Ответ: \(y = 4;\quad 18, 18, 18, 18.\)