ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 30 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии \(-4,8; -4,4; -4; \ldots\).

2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии \((a_n)\), если \(a_5 + a_8 = 29\) и \(a_7 + a_{11} = 44\).

3. При каком значении \(a\) значения выражений \(a^2 + 1\), \(2a + 3\), \(3a — 1\) и \(a^2 — 2a + 4\) будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите эти члены прогрессии.

1. \(-4,8; -4,4; -4; \ldots;\)
Положительный член:
\(a_1 = -4,8,\quad a_2 = -4,4;\)
\(d = -4,4 + 4,8 = 0,4;\)
\(a_n = a_1 + d(n — 1) > 0;\)
\(-4,8 + 0,4(n — 1) > 0;\)
\(0,4n — 0,4 — 4,8 > 0;\)
\(0,4n > 5,2,\quad n > 13;\)
Ответ: 14.

2. Известно следующее:
\(a_5 + a_8 = 29,\quad a_7 + a_{11} = 44;\)
Из первого уравнения:
\(a_1 + 4d + a_1 + 7d = 29;\)
\(2a_1 + 11d = 29;\)
\(2a_1 = 29 — 11d;\)
\(a_1 = 14,5 — 5,5d;\)
Из второго уравнения:
\(a_1 + 6d + a_1 + 10d = 44;\)
\(2a_1 + 16d = 44;\)
\(29 + 5d = 44;\)
\(5d = 15,\quad d = 3;\)
\(a_1 = 14,5 — 16,5 = -2;\)
Ответ: \(a_1 = -2;\quad d = 3.\)

3. Заданы члены прогрессии:
\(a^2 + 1, \quad 2a + 3, \quad 3a — 1, \quad a^2 — 2a + 4;\)
Первое равенство:
\(2a + 3 = \frac{a^2 + 1 + 3a — 1}{2};\)
\(4a + 6 = a^2 + 3a;\)
\(a^2 — a — 6 = 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25,\) тогда:
\(a_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2\) и \(a_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;\)
Второе равенство:
\(3a — 1 = \frac{2a + 3 + a^2 — 2a + 4}{2};\)
\(6a — 2 = a^2 + 7;\)
\(a^2 — 6a + 9 = 0;\)
\((a — 3)^2 = 0;\)
\(a — 3 = 0,\quad a = 3;\)
Члены прогрессии:
\(a_1 = 9 + 1 = 10;\)
\(a_2 = 6 + 3 = 9;\)
\(a_3 = 9 — 1 = 8;\)
\(a_4 = 9 — 6 + 4 = 7;\)
Ответ: \(a = 3;\quad 10, 9, 8, 7.\)

1. Дана арифметическая прогрессия с первыми членами \(-4,8; -4,4; -4; \ldots\).
Найдем разность прогрессии:
\(d = a_2 — a_1 = -4,4 — (-4,8) = 0,4.\)
Общее выражение для \(n\)-го члена:
\(a_n = a_1 + d(n — 1) = -4,8 + 0,4(n — 1).\)
Найдем, при каком \(n\) член прогрессии станет положительным:
\(a_n > 0 \Rightarrow -4,8 + 0,4(n — 1) > 0.\)
Раскроем скобки и упростим:
\(0,4n — 0,4 — 4,8 > 0,\)
\(0,4n — 5,2 > 0,\)
\(0,4n > 5,2,\)
\(n > \frac{5,2}{0,4} = 13.\)
Минимальное целое \(n\), при котором член положительный, равно 14.
Ответ: 14.

2. Известно, что \(a_5 + a_8 = 29\) и \(a_7 + a_{11} = 44.\)
Запишем члены прогрессии через \(a_1\) и \(d\):
\(a_5 = a_1 + 4d,\quad a_8 = a_1 + 7d,\)
\(a_7 = a_1 + 6d,\quad a_{11} = a_1 + 10d.\)
Из первого уравнения:
\(a_5 + a_8 = (a_1 + 4d) + (a_1 + 7d) = 2a_1 + 11d = 29.\)
Из второго уравнения:
\(a_7 + a_{11} = (a_1 + 6d) + (a_1 + 10d) = 2a_1 + 16d = 44.\)
Вычтем первое уравнение из второго:
\((2a_1 + 16d) — (2a_1 + 11d) = 44 — 29,\)
\(5d = 15,\)
\(d = 3.\)
Подставим \(d\) в первое уравнение:
\(2a_1 + 11 \cdot 3 = 29,\)
\(2a_1 + 33 = 29,\)
\(2a_1 = 29 — 33 = -4,\)
\(a_1 = -2.\)
Ответ: \(a_1 = -2,\quad d = 3.\)

3. Даны члены прогрессии:
\(a^2 + 1, \quad 2a + 3, \quad 3a — 1, \quad a^2 — 2a + 4.\)
Так как это арифметическая прогрессия, средний член равен среднему арифметическому соседних:
Первое равенство:
\(2a + 3 = \frac{a^2 + 1 + 3a — 1}{2}.\)
Умножим обе части на 2:
\(4a + 6 = a^2 + 3a.\)
Переносим все в левую часть:
\(a^2 + 3a — 4a — 6 = 0,\)
\(a^2 — a — 6 = 0.\)
Найдем дискриминант:
\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.\)
Корни уравнения:
\(a = \frac{1 \pm 5}{2}.\)
Первый корень:
\(a_1 = \frac{1 — 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2.\)
Второй корень:
\(a_2 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3.\)
Второе равенство:
\(3a — 1 = \frac{2a + 3 + a^2 — 2a + 4}{2}.\)
Упростим числитель:
\(2a + 3 + a^2 — 2a + 4 = a^2 + 7.\)
Умножим обе части на 2:
\(6a — 2 = a^2 + 7.\)
Переносим все в левую часть:
\(a^2 — 6a + 9 = 0.\)
Распишем квадрат:
\((a — 3)^2 = 0.\)
Отсюда:
\(a = 3.\)
Подставим \(a = 3\) в члены прогрессии:
\(a_1 = a^2 + 1 = 9 + 1 = 10,\)
\(a_2 = 2a + 3 = 6 + 3 = 9,\)
\(a_3 = 3a — 1 = 9 — 1 = 8,\)
\(a_4 = a^2 — 2a + 4 = 9 — 6 + 4 = 7.\)
Ответ: \(a = 3;\quad 10, 9, 8, 7.\)