ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 31 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Арифметическая прогрессия \((a_n)\) задана формулой \(n\)-го члена: \(a_n = 2n — 3\). Найдите сумму тридцати шести первых членов прогрессии.
2. Для любого натурального значения \(n\) сумму \(n\) первых членов некоторой арифметической прогрессии можно вычислить по формуле \(S_n = 4n^2 — 5n\). Найдите первый член и разность этой прогрессии.
3. Девятнадцатый член арифметической прогрессии равен 16. Найдите сумму тридцати семи первых членов прогрессии.

1. \(a_n = 2n — 3, n = 36\)
\(a_1 = 2 \cdot 1 — 3 = -1\)
\(a_{36} = 2 \cdot 36 — 3 = 69\)
\(S_{36} = \frac{a_1 + a_{36}}{2} \cdot 36 = \frac{-1 + 69}{2} \cdot 36 = 68 \cdot 18 = 1224\)
Ответ: 1224.

2. \(S_n = 4n^{2} — 5n\)
\(S_1 = 4 \cdot 1^{2} — 5 \cdot 1 = -1\)
\(S_2 = 4 \cdot 2^{2} — 5 \cdot 2 = 6\)
\(a_1 = S_1 = -1\)
\(a_2 = S_2 — S_1 = 6 — (-1) = 7\)
\(d = a_2 — a_1 = 7 — (-1) = 8\)
Ответ: \(a_1 = -1; d = 8\).

3. \(a_{19} = a_1 + 18d = 16\)
\(S_{37} = \frac{a_1 + a_{37}}{2} \cdot 37 = \frac{a_1 + a_1 + 36d}{2} \cdot 37 = \frac{2a_1 + 36d}{2} \cdot 37 = (a_1 + 18d) \cdot 37\)
Подставляем \(a_1 + 18d = 16\), получаем:
\(S_{37} = 16 \cdot 37 = 592\)
Ответ: 592.

1. Дана формула \(a_n = 2n — 3\). Найдём первый член прогрессии:
\(a_1 = 2 \cdot 1 — 3 = -1\).
Найдём 36-й член:
\(a_{36} = 2 \cdot 36 — 3 = 72 — 3 = 69\).
Сумма первых 36 членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
\(S_{36} = \frac{a_1 + a_{36}}{2} \cdot 36\).
Подставляем значения:
\(S_{36} = \frac{-1 + 69}{2} \cdot 36 = \frac{68}{2} \cdot 36 = 34 \cdot 36 = 1224\).

2. Дана формула суммы первых \(n\) членов:
\(S_n = 4n^{2} — 5n\).
Вычислим сумму первого члена:
\(S_1 = 4 \cdot 1^{2} — 5 \cdot 1 = 4 — 5 = -1\).
Вычислим сумму первых двух членов:
\(S_2 = 4 \cdot 2^{2} — 5 \cdot 2 = 16 — 10 = 6\).
Первый член прогрессии равен:
\(a_1 = S_1 = -1\).
Второй член равен разности сумм:
\(a_2 = S_2 — S_1 = 6 — (-1) = 7\).
Разность прогрессии:
\(d = a_2 — a_1 = 7 — (-1) = 8\).

3. Известно, что \(a_{19} = 16\), то есть:
\(a_{19} = a_1 + 18d = 16\).
Сумма первых 37 членов равна:
\(S_{37} = \frac{a_1 + a_{37}}{2} \cdot 37\).
Запишем \(a_{37}\) через первый член и разность:
\(a_{37} = a_1 + 36d\).
Подставим в формулу суммы:
\(S_{37} = \frac{a_1 + a_1 + 36d}{2} \cdot 37 = \frac{2a_1 + 36d}{2} \cdot 37 = (a_1 + 18d) \cdot 37\).
Так как \(a_1 + 18d = 16\), получаем:
\(S_{37} = 16 \cdot 37 = 592\).