ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 32 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Между числами 16 и 81 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию. Запишите полученную прогрессию.
2. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_{10} = 9b_1\) и \(b_2 + b_6 = 168\).
3. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 90. Если из этих чисел вычесть соответственно 7, 18 и 2, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.

1. \(b_1 = 16, b_5 = 81\)
\(b_5 = b_1 \cdot q^4 = 81\)
\(16 \cdot q^4 = 81\)
\(q^4 = \frac{81}{16} = \left(\frac{3}{2}\right)^4\)
\(q = \pm \frac{3}{2}\)
\(b_2 = b_1 \cdot q = 16 \cdot \pm \frac{3}{2} = \pm 24\)
\(b_3 = b_2 \cdot q = \pm 24 \cdot \pm \frac{3}{2} = 36\)
\(b_4 = b_3 \cdot q = 36 \cdot \pm \frac{3}{2} = \pm 54\)
Ответ: \(16; -24; 36; -54; 81\) или \(16; 24; 36; 54; 81\)

2. \(b_{10} = 9 b_8, b_3 + b_6 = 168\)
\(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\)
\(b_{10} = b_1 q^9, b_8 = b_1 q^7\)
\(b_1 q^9 = 9 b_1 q^7\)
\(q^2 = 9\)
\(q = \pm 3\)
\(b_3 + b_6 = b_1 q^2 + b_1 q^5 = b_1 (q^2 + q^5) = 168\)
Если \(q=3\), то \(b_1 (9 + 243) = 168\), \(252 b_1 = 168\), \(b_1 = \frac{2}{3}\)
Если \(q=-3\), то \(b_1 (9 — 243) = 168\), \(-234 b_1 = 168\), \(b_1 = -\frac{28}{39}\)
Ответ: \(b_1 = \frac{2}{3}, q = 3\) или \(b_1 = -\frac{28}{39}, q = -3\)

3. \(a_1 + a_2 + a_3 = 90\), \(3a_2 = 90\), \(a_2 = 30\)
\(a_1 = 30 — d, a_3 = 30 + d\)
\(b_1 = a_1 — 7 = 23 — d\)
\(b_2 = a_2 — 18 = 12\)
\(b_3 = a_3 — 2 = 28 + d\)
\(b_2^2 = b_1 \cdot b_3\)
\(144 = (23 — d)(28 + d)\)
\(144 = 644 + 23d — 28d — d^2\)
\(d^2 + 5d — 500 = 0\)
\(D = 5^2 + 4 \cdot 500 = 2025\)
\(d_1 = \frac{-5 — 45}{2} = -25\), \(d_2 = \frac{-5 + 45}{2} = 20\)
Если \(d = -25\), \(a_1 = 55\), \(a_3 = 5\)
Если \(d = 20\), \(a_1 = 10\), \(a_3 = 50\)
Ответ: \(55; 30; 5\) или \(10; 30; 50\)

1. Дано: \(b_1 = 16\), \(b_5 = 81\). Нужно вставить три числа между ними так, чтобы получилась геометрическая прогрессия. Формула n-го члена геометрической прогрессии: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). Подставляем для пятого члена: \(b_5 = 16 \cdot q^{4} = 81\). Делим обе части на 16: \(q^{4} = \frac{81}{16} = \left(\frac{3}{2}\right)^{4}\). Значит, \(q = \pm \frac{3}{2}\).

2. Найдём остальные члены прогрессии. При \(q = \frac{3}{2}\): \(b_2 = 16 \cdot \frac{3}{2} = 24\), \(b_3 = 24 \cdot \frac{3}{2} = 36\), \(b_4 = 36 \cdot \frac{3}{2} = 54\). При \(q = -\frac{3}{2}\): \(b_2 = 16 \cdot -\frac{3}{2} = -24\), \(b_3 = -24 \cdot -\frac{3}{2} = 36\), \(b_4 = 36 \cdot -\frac{3}{2} = -54\).

3. Ответ: \(16; -24; 36; -54; 81\) или \(16; 24; 36; 54; 81\).

4. Дано: \(b_{10} = 9 b_8\), \(b_3 + b_6 = 168\). Формула для общего члена: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). Подставляем в первое уравнение: \(b_1 \cdot q^{9} = 9 b_1 \cdot q^{7}\). Делим на \(b_1 \cdot q^{7}\) (при \(b_1 \neq 0\), \(q \neq 0\)): \(q^{2} = 9\). Значит, \(q = \pm 3\).

5. Подставляем во второе уравнение: \(b_3 + b_6 = b_1 q^{2} + b_1 q^{5} = b_1 (q^{2} + q^{5}) = 168\).

6. При \(q = 3\): \(b_1 (9 + 243) = 168\), \(252 b_1 = 168\), \(b_1 = \frac{168}{252} = \frac{2}{3}\).

7. При \(q = -3\): \(b_1 (9 — 243) = 168\), \(-234 b_1 = 168\), \(b_1 = -\frac{168}{234} = -\frac{28}{39}\).

8. Ответ: \(b_1 = \frac{2}{3}, q = 3\) или \(b_1 = -\frac{28}{39}, q = -3\).

9. Дано: три числа в арифметической прогрессии, сумма которых равна 90. Пусть числа: \(a_1, a_2, a_3\). Тогда \(a_1 + a_2 + a_3 = 90\). Средний член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому, значит \(a_2 = \frac{90}{3} = 30\).

10. Пусть разность прогрессии равна \(d\), тогда \(a_1 = 30 — d\), \(a_3 = 30 + d\). После вычитания из чисел 7, 18 и 2 получаются числа: \(b_1 = a_1 — 7 = 23 — d\), \(b_2 = a_2 — 18 = 12\), \(b_3 = a_3 — 2 = 28 + d\). Эти числа образуют геометрическую прогрессию, значит \(b_2^{2} = b_1 \cdot b_3\).

11. Подставляем: \(12^{2} = (23 — d)(28 + d)\), \(144 = 644 + 23 d — 28 d — d^{2}\), \(144 = 644 — 5 d — d^{2}\).

12. Переносим все в одну сторону: \(d^{2} + 5 d — 500 = 0\). Находим дискриминант: \(D = 5^{2} + 4 \cdot 500 = 25 + 2000 = 2025\).

13. Находим корни: \(d_1 = \frac{-5 — 45}{2} = -25\), \(d_2 = \frac{-5 + 45}{2} = 20\).

14. При \(d = -25\): \(a_1 = 30 — (-25) = 55\), \(a_3 = 30 + (-25) = 5\).

15. При \(d = 20\): \(a_1 = 30 — 20 = 10\), \(a_3 = 30 + 20 = 50\).

16. Ответ: \(55; 30; 5\) или \(10; 30; 50\).