ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 32 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Между числами 625 и 16 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию. Запишите полученную прогрессию.
2. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_8 = 250b_1\) и \(b_4 + b_1 = -375\).
3. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 30. Если первое число оставить без изменений, а из второго и третьего чисел вычесть соответственно 4 и 5, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.

1. \(b_1 = 625, b_5 = 16\)
\(b_5 = b_1 \cdot q^4 = 16\)
\(625 \cdot q^4 = 16\)
\(q^4 = \frac{16}{625} = \left(\frac{2}{5}\right)^4\)
\(q = \pm \frac{2}{5}\)
\(b_2 = b_1 \cdot q = 625 \cdot \pm \frac{2}{5} = \pm 250\)
\(b_3 = b_2 \cdot q = \pm 250 \cdot \pm \frac{2}{5} = 100\)
\(b_4 = b_3 \cdot q = 100 \cdot \pm \frac{2}{5} = \pm 40\)
Ответ: \(625; -250; 100; -40; 16\) или \(625; 250; 100; 40; 16\)

2. \(b_8 = 25 b_6, b_4 + b_7 = -375\)
\(b_8 = b_1 q^7, b_6 = b_1 q^5\)
\(b_1 q^7 = 25 b_1 q^5\)
\(q^2 = 25, q = \pm 5\)
\(b_4 + b_7 = b_1 q^3 + b_1 q^6 = b_1 (q^3 + q^6) = -375\)
Для \(q=5\):
\(b_1 (125 + 15625) = 15750 b_1 = -375\)
\(b_1 = -\frac{375}{15750} = -\frac{1}{42}\)
Для \(q=-5\):
\(b_1 (-125 + 15625) = 15500 b_1 = -375\)
\(b_1 = -\frac{375}{15500} = -\frac{3}{124}\)
Ответ: \(b_1 = -\frac{1}{42}, q = 5\) или \(b_1 = -\frac{3}{124}, q = -5\)

3. \(a_1 + a_2 + a_3 = 30\)
\(a_2 = 10\)
\(a_1 = 10 — d\)
\(a_3 = 10 + d\)
\(b_1 = a_1 = 10 — d\)
\(b_2 = a_2 — 4 = 6\)
\(b_3 = a_3 — 5 = 5 + d\)
\(b_2^2 = b_1 \cdot b_3\)
\(36 = (10 — d)(5 + d)\)
\(36 = 50 + 10 d — 5 d — d^2\)
\(d^2 — 5 d — 14 = 0\)
\(D = 25 + 56 = 81\)
\(d_1 = \frac{5 — 9}{2} = -2, d_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7\)
Для \(d = -2\):
\(a_1 = 12, a_2 = 10, a_3 = 8\)
Для \(d = 7\):
\(a_1 = 3, a_2 = 10, a_3 = 17\)
Ответ: \(12; 10; 8\) или \(3; 10; 17\)

1. Дано два числа \(b_1 = 625\) и \(b_5 = 16\). Нужно вставить три числа между ними так, чтобы получилась геометрическая прогрессия. Обозначим знаменатель прогрессии через \(q\). Тогда пятый член можно записать как \(b_5 = b_1 \cdot q^4\). Подставим известные значения: \(16 = 625 \cdot q^4\). Выразим \(q^4\): \(q^4 = \frac{16}{625}\). Заметим, что \(16 = 2^4\), а \(625 = 5^4\), значит \(q^4 = \left(\frac{2}{5}\right)^4\). Отсюда \(q = \pm \frac{2}{5}\).

Найдем промежуточные члены прогрессии:
\(b_2 = b_1 \cdot q = 625 \cdot \pm \frac{2}{5} = \pm 250\),
\(b_3 = b_2 \cdot q = \pm 250 \cdot \pm \frac{2}{5} = 100\),
\(b_4 = b_3 \cdot q = 100 \cdot \pm \frac{2}{5} = \pm 40\).

Ответ: последовательности \(625; -250; 100; -40; 16\) или \(625; 250; 100; 40; 16\).

2. Дано: \(b_8 = 25 b_6\) и \(b_4 + b_7 = -375\). Обозначим первый член прогрессии как \(b_1\), а знаменатель — \(q\). Тогда:
\(b_8 = b_1 q^7\),
\(b_6 = b_1 q^5\).

Из условия \(b_8 = 25 b_6\) следует:
\(b_1 q^7 = 25 b_1 q^5\),
сокращаем на \(b_1\) (так как \(b_1 \neq 0\)), получаем
\(q^7 = 25 q^5\),
то есть \(q^2 = 25\), значит \(q = \pm 5\).

Подставим в уравнение \(b_4 + b_7 = -375\):
\(b_4 = b_1 q^3\),
\(b_7 = b_1 q^6\),
значит
\(b_1 q^3 + b_1 q^6 = b_1 (q^3 + q^6) = -375\).

Для \(q = 5\):
\(b_1 (5^3 + 5^6) = b_1 (125 + 15625) = 15750 b_1 = -375\),
откуда \(b_1 = -\frac{375}{15750} = -\frac{1}{42}\).

Для \(q = -5\):
\(b_1((-5)^3 + (-5)^6) = b_1(-125 + 15625) = 15500 b_1 = -375\),
откуда \(b_1 = -\frac{375}{15500} = -\frac{3}{124}\).

Ответ:
\(b_1 = -\frac{1}{42}, q = 5\) или \(b_1 = -\frac{3}{124}, q = -5\).

3. Пусть три числа \(a_1, a_2, a_3\) образуют арифметическую прогрессию с разностью \(d\). Тогда
\(a_2 = a_1 + d\),
\(a_3 = a_1 + 2d\).

Из условия суммы:
\(a_1 + a_2 + a_3 = 3 a_1 + 3 d = 30\),
следовательно
\(a_1 + d = 10\),
откуда
\(a_1 = 10 — d\).

После вычитания из \(a_2\) и \(a_3\) чисел 4 и 5 соответственно, новые числа:
\(b_1 = a_1 = 10 — d\),
\(b_2 = a_2 — 4 = (10 — d + d) — 4 = 6\),
\(b_3 = a_3 — 5 = (10 — d + 2 d) — 5 = 5 + d\).

Числа \(b_1, b_2, b_3\) должны образовывать геометрическую прогрессию, значит
\(b_2^2 = b_1 \cdot b_3\),
то есть
\(6^2 = (10 — d)(5 + d)\),
\(36 = 50 + 10 d — 5 d — d^2\),
\(36 = 50 + 5 d — d^2\).

Переносим все в одну сторону:
\(d^2 — 5 d — 14 = 0\).

Вычисляем дискриминант:
\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81\).

Находим корни:
\(d = \frac{5 \pm 9}{2}\).

Первый корень:
\(d_1 = \frac{5 — 9}{2} = -2\).

Второй корень:
\(d_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7\).

Для \(d = -2\):
\(a_1 = 10 — (-2) = 12\),
\(a_2 = 12 — 2 = 10\),
\(a_3 = 12 — 4 = 8\).

Для \(d = 7\):
\(a_1 = 10 — 7 = 3\),
\(a_2 = 3 + 7 = 10\),
\(a_3 = 3 + 14 = 17\).

Ответ:
\(12; 10; 8\) или \(3; 10; 17\).