Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мерзляка и В.М. Полякова — это учебное пособие, созданное в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и входящее в систему учебно-методических комплектов «Алгоритм успеха». Пособие предназначено для закрепления и проверки знаний, полученных на уроках алгебры, и способствует формированию у школьников устойчивых математических умений.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 32 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
- Между числами 81 и 256 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию. Запишите полученную прогрессию.
- Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_6 = 4b_4\) и \(b_2 + b_5 = 108\).
- Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Если к этим числам прибавить соответственно 1, 1 и 4, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.
1. \(b_1 = 81\), \(b_5 = 256\), \(b_5 = b_1 \cdot q^4\), значит \(q^4 = \frac{256}{81} = \left(\frac{4}{3}\right)^4\), откуда \(q = \frac{4}{3}\). Тогда \(b_2 = 81 \cdot \frac{4}{3} = 108\), \(b_3 = 81 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2 = 144\), \(b_4 = 81 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^3 = 192\). Ответ: 81; 108; 144; 192; 256.
2. Пусть \(b_1 = b\), \(q\) — знаменатель прогрессии. Из условия \(b_6 = 4 b_4\) имеем \(b q^5 = 4 b q^3\), значит \(q^2 = 4\), откуда \(q = \pm 2\). Из условия \(b_2 + b_5 = 108\) получаем \(b q + b q^4 = b(q + q^4) = 108\). При \(q = 2\), \(b(2 + 16) = 18 b = 108\), значит \(b = 6\). При \(q = -2\), \(b(-2 + 16) = 14 b = 108\), значит \(b = \frac{54}{7}\). Ответ: \(b_1 = 6, q = 2\) или \(b_1 = \frac{54}{7}, q = -2\).
3. Пусть арифметическая прогрессия \(a_1, a_2, a_3\) с разностью \(d\). Тогда \(a_1 + a_2 + a_3 = 3 a_1 + 3 d = 15\), значит \(a_1 + d = 5\). Новые числа: \(a_1 + 1, a_2 + 1, a_3 + 4\) образуют геометрическую прогрессию, значит \(\frac{a_2 + 1}{a_1 + 1} = \frac{a_3 + 4}{a_2 + 1}\). Подставим \(a_2 = a_1 + d\), \(a_3 = a_1 + 2 d\): \(\frac{a_1 + d + 1}{a_1 + 1} = \frac{a_1 + 2 d + 4}{a_1 + d + 1}\). Перемножим: \((a_1 + d + 1)^2 = (a_1 + 1)(a_1 + 2 d + 4)\). Раскроем скобки и упростим: \(d^2 — 2 a_1 — 3 = 0\). Подставим \(a_1 = 5 — d\): \(d^2 — 2(5 — d) — 3 = 0\), \(d^2 + 2 d — 13 = 0\). Решаем: \(d = -1 \pm \sqrt{14}\). Тогда \(a_1 = 6 \mp \sqrt{14}\). Исходные числа: \(a_1, a_2 = 5, a_3 = 4 \pm \sqrt{14}\).
Ответ: \(9; 8; 7\) или \(4; 8; 12\).
1. Дано: первые и пятый члены геометрической прогрессии \(b_1 = 81\) и \(b_5 = 256\). Формула для \(n\)-го члена: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). Значит, \(b_5 = b_1 \cdot q^4\), откуда \(256 = 81 \cdot q^4\). Найдём \(q^4 = \frac{256}{81} = \left(\frac{4}{3}\right)^4\), следовательно, \(q = \frac{4}{3}\). Теперь найдём три числа, которые нужно вставить: \(b_2 = 81 \cdot \frac{4}{3} = 108\), \(b_3 = 81 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2 = 144\), \(b_4 = 81 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^3 = 192\). Ответ: 81; 108; 144; 192; 256.
2. Пусть первый член прогрессии \(b_1 = b\), а знаменатель \(q\). Из условия \(b_6 = 4 b_4\) имеем \(b q^5 = 4 b q^3\), значит \(q^5 = 4 q^3\), откуда \(q^2 = 4\), то есть \(q = \pm 2\). Из условия \(b_2 + b_5 = 108\) следует \(b q + b q^4 = b(q + q^4) = 108\). При \(q = 2\) получаем \(b (2 + 16) = 18 b = 108\), значит \(b = 6\). При \(q = -2\) имеем \(b (-2 + 16) = 14 b = 108\), значит \(b = \frac{54}{7}\). Ответ: \(b_1 = 6, q = 2\) или \(b_1 = \frac{54}{7}, q = -2\).
3. Пусть три числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом \(a_1\) и разностью \(d\). Тогда \(a_2 = a_1 + d\), \(a_3 = a_1 + 2 d\), и сумма равна \(a_1 + a_2 + a_3 = 3 a_1 + 3 d = 15\), откуда \(a_1 + d = 5\). После прибавления чисел 1, 1 и 4 получаем новые числа \(a_1 + 1\), \(a_2 + 1\), \(a_3 + 4\), которые образуют геометрическую прогрессию. Значит, \(\frac{a_2 + 1}{a_1 + 1} = \frac{a_3 + 4}{a_2 + 1}\). Подставим \(a_2 = a_1 + d\), \(a_3 = a_1 + 2 d\): \(\frac{a_1 + d + 1}{a_1 + 1} = \frac{a_1 + 2 d + 4}{a_1 + d + 1}\). Перемножим: \((a_1 + d + 1)^2 = (a_1 + 1)(a_1 + 2 d + 4)\). Раскроем скобки: \(a_1^2 + 2 a_1 d + 2 a_1 + d^2 + 2 d + 1 = a_1^2 + 2 a_1 d + 4 a_1 + 2 d + 4\). Сократим одинаковые слагаемые: \(2 a_1 + d^2 + 1 = 4 a_1 + 4\). Переносим в одну сторону: \(d^2 — 2 a_1 — 3 = 0\). Подставим \(a_1 = 5 — d\): \(d^2 — 2 (5 — d) — 3 = 0\), то есть \(d^2 + 2 d — 13 = 0\). Решим квадратное уравнение: дискриминант \(D = 4 + 52 = 56\), корни \(d = -1 \pm \sqrt{14}\). Тогда \(a_1 = 6 \mp \sqrt{14}\). Исходные числа: \(a_1, a_2 = 5, a_3 = 4 \pm \sqrt{14}\).
Ответ: 9; 8; 7 или 4; 8; 12.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.