ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 32 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Между числами 625 и 81 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию. Запишите полученную прогрессию.
2. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_{12} = 36 b_{10}\) и \(b_2 + b_{10} = -252\).
3. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 24. Если первое число оставить без изменений, а из второго и третьего чисел вычесть соответственно 2 и 3, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.

1. Дано \(b_1 = 625\), \(b_5 = 81\).
\(b_5 = b_1 \cdot q^4\)
\(625 \cdot q^4 = 81\)
\(q^4 = \frac{81}{625} = \left(\frac{3}{5}\right)^4\)
\(q = \pm \frac{3}{5}\)
\(b_2 = 625 \cdot \pm \frac{3}{5} = \pm 375\)
\(b_3 = \pm 375 \cdot \pm \frac{3}{5} = 225\)
\(b_4 = 225 \cdot \pm \frac{3}{5} = \pm 135\)
Ответ: \(625; -375; 225; -135; 81\) или \(625; 375; 225; 135; 81\).

2. Дано \(b_{12} = 36 b_{10}\), \(b_3 + b_6 = -252\).
\(b_{12} = b_1 q^{11}\), \(b_{10} = b_1 q^9\)
\(b_1 q^{11} = 36 b_1 q^9\)
\(q^{11} = 36 q^9\)
\(q^2 = 36\), \(q = \pm 6\)
\(b_3 + b_6 = b_1 q^2 + b_1 q^5 = b_1 (q^2 + q^5) = -252\)
Для \(q = 6\):
\(b_1 (36 + 7776) = -252\)
\(b_1 \cdot 7812 = -252\)
\(b_1 = -\frac{1}{31}\)
Для \(q = -6\):
\(b_1 (36 — 7776) = -252\)
\(b_1 \cdot (-7740) = -252\)
\(b_1 = \frac{7}{215}\)
Ответ: \(b_1 = -\frac{1}{31}, q = 6\) или \(b_1 = \frac{7}{215}, q = -6\).

3. Дано \(a_1 + a_2 + a_3 = 24\), \(3 a_2 = 24\), \(a_2 = 8\).
\(a_1 = 8 — d\), \(a_3 = 8 + d\).
В геометрической прогрессии:
\(b_1 = a_1 = 8 — d\), \(b_2 = a_2 — 2 = 6\), \(b_3 = a_3 — 3 = 5 + d\).
\(b_2^2 = b_1 \cdot b_3\)
\(6^2 = (8 — d)(5 + d)\)
\(36 = 40 + 8d — 5d — d^2\)
\(36 = 40 + 3d — d^2\)
\(d^2 — 3d — 4 = 0\)
\(D = 9 + 16 = 25\)
\(d = \frac{3 \pm 5}{2}\)
\(d_1 = -1\), \(d_2 = 4\)
Для \(d = -1\):
\(a_1 = 9\), \(a_2 = 8\), \(a_3 = 7\)
Для \(d = 4\):
\(a_1 = 4\), \(a_2 = 8\), \(a_3 = 12\)
Ответ: \(9; 8; 7\) или \(4; 8; 12\).

1. Дано \(b_1 = 625\), \(b_5 = 81\). Формула для \(n\)-го члена геометрической прогрессии: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). Подставляем \(n=5\): \(b_5 = 625 \cdot q^4 = 81\). Делим обе части на 625: \(q^4 = \frac{81}{625} = \left(\frac{3}{5}\right)^4\). Значит, \(q = \pm \frac{3}{5}\).

Вычисляем остальные члены при \(q = \frac{3}{5}\): \(b_2 = 625 \cdot \frac{3}{5} = 375\), \(b_3 = 375 \cdot \frac{3}{5} = 225\), \(b_4 = 225 \cdot \frac{3}{5} = 135\).

При \(q = -\frac{3}{5}\): \(b_2 = 625 \cdot -\frac{3}{5} = -375\), \(b_3 = -375 \cdot -\frac{3}{5} = 225\), \(b_4 = 225 \cdot -\frac{3}{5} = -135\).

Ответ: \(625; 375; 225; 135; 81\) или \(625; -375; 225; -135; 81\).

2. Дано \(b_{12} = 36 b_{10}\), \(b_3 + b_6 = -252\). Формулы: \(b_n = b_1 q^{n-1}\). Подставляем: \(b_{12} = b_1 q^{11}\), \(b_{10} = b_1 q^9\).

Из условия: \(b_1 q^{11} = 36 b_1 q^9\). Делим на \(b_1 q^9\): \(q^2 = 36\). Значит, \(q = \pm 6\).

Второе условие: \(b_3 + b_6 = b_1 q^2 + b_1 q^5 = b_1 (q^2 + q^5) = -252\).

Для \(q = 6\): \(b_1 (36 + 6^5) = -252\). \(6^5 = 7776\), значит \(b_1 (36 + 7776) = b_1 \cdot 7812 = -252\). Отсюда \(b_1 = -\frac{1}{31}\).

Для \(q = -6\): \(b_1 (36 + (-6)^5) = b_1 (36 — 7776) = b_1 (-7740) = -252\). Значит \(b_1 = \frac{7}{215}\).

Ответ: \(b_1 = -\frac{1}{31}, q = 6\) или \(b_1 = \frac{7}{215}, q = -6\).

3. Дано \(a_1 + a_2 + a_3 = 24\). Так как это арифметическая прогрессия, то \(3 a_2 = 24\), значит \(a_2 = 8\).

Обозначим разность прогрессии как \(d\). Тогда \(a_1 = 8 — d\), \(a_3 = 8 + d\).

Из условия: если из \(a_2\) вычесть 2, а из \(a_3\) вычесть 3, то числа образуют геометрическую прогрессию с первым членом \(b_1 = a_1\), вторым \(b_2 = a_2 — 2 = 6\), третьим \(b_3 = a_3 — 3 = 5 + d\).

Для геометрической прогрессии выполняется \(b_2^2 = b_1 \cdot b_3\). Подставляем: \(6^2 = (8 — d)(5 + d)\). Получаем \(36 = 40 + 8 d — 5 d — d^2\), или \(36 = 40 + 3 d — d^2\).

Переносим все влево: \(d^2 — 3 d — 4 = 0\). Дискриминант: \(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\).

Корни: \(d = \frac{3 \pm 5}{2}\). Значит, \(d_1 = -1\), \(d_2 = 4\).

Для \(d = -1\): \(a_1 = 8 — (-1) = 9\), \(a_2 = 8\), \(a_3 = 8 + (-1) = 7\).

Для \(d = 4\): \(a_1 = 8 — 4 = 4\), \(a_2 = 8\), \(a_3 = 8 + 4 = 12\).

Ответ: \(9; 8; 7\) или \(4; 8; 12\).