Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мерзляка и В.М. Полякова — это учебное пособие, созданное в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и входящее в систему учебно-методических комплектов «Алгоритм успеха». Пособие предназначено для закрепления и проверки знаний, полученных на уроках алгебры, и способствует формированию у школьников устойчивых математических умений.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 33 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
- Геометрическая прогрессия \((b_n)\) задана формулой \(n\)-го члена \(b_n = 3 \cdot 2^{n+1} — 1\). Найдите сумму шести первых членов прогрессии.
- Сумма \(n\) первых членов геометрической прогрессии равна 2046. Найдите \(n\), если первый член прогрессии равен 6, а знаменатель прогрессии равен 4.
- Для любого натурального \(n\) сумму \(n\) первых членов некоторой последовательности можно вычислить по формуле \(S_n = 2(5^n — 1)\). Докажите, что данная последовательность является геометрической прогрессией.
1. \(b_n = 3 \cdot 2^{n+1}\)
\(b_1 = 3 \cdot 2^2 = 12\)
\(b_2 = 3 \cdot 2^3 = 24\)
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{24}{12} = 2\)
\(S_6 = b_1 \cdot \frac{q^6 — 1}{q — 1} = 12 \cdot \frac{2^6 — 1}{2 — 1} = 12 \cdot 63 = 756\)
Ответ: 756.
2. \(b_1 = 6, q = 4, S_n = 2046\)
\(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\)
\(2046 = 6 \cdot \frac{4^n — 1}{3}\)
\(2046 \cdot 3 = 6 (4^n — 1)\)
\(6138 = 6 (4^n — 1)\)
\(\frac{6138}{6} = 4^n — 1\)
\(1023 = 4^n — 1\)
\(4^n = 1024\)
\(n = 5\)
Ответ: 5.
3. \(S_n = 2(5^n — 1)\)
\(S_1 = 2(5 — 1) = 8\)
\(S_2 = 2(25 — 1) = 48\)
\(b_1 = S_1 = 8\)
\(b_2 = S_2 — S_1 = 40\)
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{40}{8} = 5\)
\(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1} = 8 \cdot \frac{5^n — 1}{5 — 1} = 2(5^n — 1)\)
Что и требовалось доказать.
1. Дана геометрическая прогрессия с общим членом \(b_n = 3 \cdot 2^{n+1}\). Найдём первые два члена: \(b_1 = 3 \cdot 2^2 = 12\), \(b_2 = 3 \cdot 2^3 = 24\). Найдём знаменатель прогрессии: \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{24}{12} = 2\).
Сумма первых шести членов вычисляется по формуле \(S_6 = b_1 \cdot \frac{q^6 — 1}{q — 1}\). Подставляем значения: \(S_6 = 12 \cdot \frac{2^6 — 1}{2 — 1} = 12 \cdot (64 — 1) = 12 \cdot 63 = 756\).
2. Известно, что первый член прогрессии \(b_1 = 6\), знаменатель \(q = 4\), сумма первых \(n\) членов равна \(2046\). Формула суммы: \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\). Подставляем: \(2046 = 6 \cdot \frac{4^n — 1}{3}\).
Умножаем обе части на 3: \(2046 \cdot 3 = 6 (4^n — 1)\), то есть \(6138 = 6 (4^n — 1)\). Делим на 6: \(\frac{6138}{6} = 4^n — 1\), получается \(1023 = 4^n — 1\). Тогда \(4^n = 1024\).
Поскольку \(1024 = 4^5\), значит \(n = 5\).
3. Дана сумма первых \(n\) членов последовательности \(S_n = 2(5^n — 1)\). Чтобы доказать, что это геометрическая прогрессия, сравним с формулой суммы геометрической прогрессии: \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\).
Подставим \(q = 5\), тогда \(S_n = b_1 \cdot \frac{5^n — 1}{5 — 1} = b_1 \cdot \frac{5^n — 1}{4}\). Приравниваем к \(2(5^n — 1)\), получаем \(b_1 \cdot \frac{5^n — 1}{4} = 2(5^n — 1)\).
Сокращаем на \(5^n — 1\): \(\frac{b_1}{4} = 2\), откуда \(b_1 = 8\).
Проверим первые члены: \(S_1 = 2(5 — 1) = 8\), значит \(b_1 = 8\). Следующий член: \(S_2 = 2(25 — 1) = 48\), тогда \(b_2 = S_2 — S_1 = 48 — 8 = 40\).
Найдём знаменатель: \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{40}{8} = 5\).
Значит, последовательность с суммой \(S_n = 2(5^n — 1)\) является геометрической прогрессией с первым членом \(8\) и знаменателем \(5\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.