ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 33 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Геометрическая прогрессия \((b_n)\) задана формулой \(n\)-го члена \(b_n = 5 \cdot 2^{n+1}\). Найдите сумму семи первых членов прогрессии.
2. Сумма \(n\) первых членов геометрической прогрессии равна 1248. Найдите \(n\), если первый член прогрессии равен 8, а знаменатель прогрессии равен 5.
3. Для любого натурального \(n\) сумму \(n\) первых членов некоторой последовательности можно вычислить по формуле \(S_n = 3(4^n — 1)\). Докажите, что данная последовательность является геометрической прогрессией.

1. \(b_n = 5 \cdot 2^{n+1}\)
\(b_1 = 5 \cdot 2^2 = 20\)
\(b_2 = 5 \cdot 2^3 = 40\)
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{40}{20} = 2\)
\(S_7 = b_1 \cdot \frac{q^7 — 1}{q — 1} = 20 \cdot \frac{2^7 — 1}{2 — 1} = 20 \cdot 127 = 2540\)
Ответ: 2540

2. \(b_1 = 8, q = 5, S_n = 1248\)
\(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\)
\(1248 = 8 \cdot \frac{5^n — 1}{4}\)
\(1248 \cdot 4 = 8(5^n — 1)\)
\(4992 = 8(5^n — 1)\)
\(\frac{4992}{8} = 5^n — 1\)
\(624 = 5^n — 1\)
\(625 = 5^n\)
\(n = 4\)
Ответ: 4

3. \(S_n = 3(4^n — 1)\)
\(b_n = S_n — S_{n-1} = 3(4^n — 1) — 3(4^{n-1} — 1) = 3(4^n — 4^{n-1}) =\)
\(= 3 \cdot 4^{n-1} (4 — 1) = 9 \cdot 4^{n-1}\)
\(b_1 = 9\), \(b_2 = 36\)
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{36}{9} = 4\)
Последовательность геометрическая с \(b_1 = 9\) и \(q = 4\)
Что и требовалось доказать.

1. Дана формула для \(n\)-го члена геометрической прогрессии: \(b_n = 5 \cdot 2^{n+1}\). Чтобы найти сумму первых 7 членов, нужно сначала определить первый член и знаменатель прогрессии. Первый член: \(b_1 = 5 \cdot 2^{1+1} = 5 \cdot 2^2 = 5 \cdot 4 = 20\). Второй член: \(b_2 = 5 \cdot 2^{2+1} = 5 \cdot 2^3 = 5 \cdot 8 = 40\). Знаменатель прогрессии равен отношению второго члена к первому: \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{40}{20} = 2\).

Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\). Подставляем значения для \(n=7\), \(b_1=20\), \(q=2\): \(S_7 = 20 \cdot \frac{2^7 — 1}{2 — 1} = 20 \cdot \frac{128 — 1}{1} = 20 \cdot 127 = 2540\).

2. Дано: первый член прогрессии \(b_1 = 8\), знаменатель \(q = 5\), сумма первых \(n\) членов равна \(S_n = 1248\). Формула суммы: \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\). Подставляем известные значения: \(1248 = 8 \cdot \frac{5^n — 1}{5 — 1} = 8 \cdot \frac{5^n — 1}{4}\).

Умножаем обе части уравнения на 4: \(1248 \cdot 4 = 8(5^n — 1)\), то есть \(4992 = 8(5^n — 1)\). Делим обе части на 8: \(\frac{4992}{8} = 5^n — 1\), получается \(624 = 5^n — 1\). Прибавляем 1 к обеим частям: \(625 = 5^n\). Поскольку \(625 = 5^4\), то \(n = 4\).

3. Дана сумма первых \(n\) членов последовательности: \(S_n = 3(4^n — 1)\). Чтобы проверить, является ли последовательность геометрической прогрессией, нужно найти общий член \(b_n\) через разность сумм: \(b_n = S_n — S_{n-1}\).

Вычисляем: \(b_n = 3(4^n — 1) — 3(4^{n-1} — 1) = 3(4^n — 1 — 4^{n-1} + 1) = 3(4^n — 4^{n-1})\). Вынесем общий множитель: \(b_n = 3 \cdot 4^{n-1} (4 — 1) = 3 \cdot 4^{n-1} \cdot 3 = 9 \cdot 4^{n-1}\).

Первый член: \(b_1 = 9 \cdot 4^0 = 9\). Второй член: \(b_2 = 9 \cdot 4^1 = 36\). Знаменатель прогрессии: \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{36}{9} = 4\). Значит, последовательность является геометрической прогрессией с первым членом 9 и знаменателем 4.