ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 33 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Геометрическая прогрессия \((b_n)\) задана формулой \(n\)-го члена \(b_n = 18 \cdot 3^{n-3}\). Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.
2. Сумма \(n\) первых членов геометрической прогрессии равна -99. Найдите \(n\), если первый член прогрессии равен -9, а знаменатель прогрессии равен -2.
3. Для любого натурального \(n\) сумму \(n\) первых членов некоторой последовательности можно вычислить по формуле \(S_n = 2(6^n — 1)\). Докажите, что данная последовательность является геометрической прогрессией.

1. \(b_n = 18 \cdot 3^{n-3}\)

\(b_1 = 18 \cdot 3^{1-3} = 18 \cdot 3^{-2} = 18 \cdot \frac{1}{9} = 2\)

\(b_2 = 18 \cdot 3^{2-3} = 18 \cdot 3^{-1} = 18 \cdot \frac{1}{3} = 6\)

\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{2} = 3\)

\(S_5 = b_1 \cdot \frac{q^5 — 1}{q — 1} = 2 \cdot \frac{3^5 — 1}{3 — 1} = 2 \cdot \frac{243 — 1}{2} = 242\)

Ответ: 242

2. \(b_1 = -9, q = -2, S_n = -99\)

\(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1} = -99\)

\(-9 \cdot \frac{(-2)^n — 1}{-2 — 1} = -99\)

\(-9 \cdot \frac{(-2)^n — 1}{-3} = -99\)

\(-9 \cdot ((-2)^n — 1) = -99 \cdot (-3)\)

\(-9 \cdot ((-2)^n — 1) = 297\)

\(((-2)^n — 1) = \frac{297}{-9} = -33\)

\((-2)^n = -32\)

\(n = 5\)

Ответ: 5

3. \(S_n = 2(6^n — 1)\)

\(S_1 = 2(6^1 — 1) = 2 \cdot 5 = 10\)

\(S_2 = 2(6^2 — 1) = 2 \cdot 35 = 70\)

\(b_1 = S_1 = 10\)

\(b_2 = S_2 — S_1 = 70 — 10 = 60\)

\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{60}{10} = 6\)

Проверка:

\(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1} = 10 \cdot \frac{6^n — 1}{6 — 1} = 2(6^n — 1)\)

Что и требовалось доказать.

1. Дана геометрическая прогрессия с общим членом \(b_n = 18 \cdot 3^{n-3}\). Чтобы найти сумму первых 5 членов, сначала найдём первый член \(b_1\). Подставляем \(n=1\):

\(b_1 = 18 \cdot 3^{1-3} = 18 \cdot 3^{-2} = 18 \cdot \frac{1}{9} = 2\).

Далее найдём второй член \(b_2\) для определения знаменателя прогрессии:

\(b_2 = 18 \cdot 3^{2-3} = 18 \cdot 3^{-1} = 18 \cdot \frac{1}{3} = 6\).

Знаменатель прогрессии равен отношению второго члена к первому:

\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{2} = 3\).

Формула суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\).

Подставляем \(n=5\), \(b_1=2\), \(q=3\):

\(S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 — 1}{3 — 1} = 2 \cdot \frac{243 — 1}{2} = 2 \cdot \frac{242}{2} = 242\).

Ответ: 242.

2. Даны: первый член прогрессии \(b_1 = -9\), знаменатель \(q = -2\), сумма первых \(n\) членов \(S_n = -99\). Используем формулу суммы:

\(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\).

Подставляем известные значения:

\(-99 = -9 \cdot \frac{(-2)^n — 1}{-2 — 1}\).

Вычисляем знаменатель:

\(-2 — 1 = -3\).

Получаем уравнение:

\(-99 = -9 \cdot \frac{(-2)^n — 1}{-3}\).

Домножим обе части на \(-3\):

\(-99 \cdot (-3) = -9 \cdot ((-2)^n — 1)\),

\(297 = -9 \cdot ((-2)^n — 1)\).

Разделим обе части на \(-9\):

\(\frac{297}{-9} = (-2)^n — 1\),

\(-33 = (-2)^n — 1\).

Прибавим 1 к обеим частям:

\((-2)^n = -32\).

Проверяем, при каком \(n\) это верно. Так как \((-2)^5 = -32\), то \(n = 5\).

Ответ: 5.

3. Дана сумма первых \(n\) членов прогрессии \(S_n = 2(6^n — 1)\). Найдём первый член \(b_1\), подставив \(n=1\):

\(S_1 = 2(6^1 — 1) = 2 \cdot (6 — 1) = 2 \cdot 5 = 10\).

Так как сумма первого члена равна самому первому члену, то \(b_1 = 10\).

Теперь найдём второй член \(b_2\), используя сумму первых двух членов:

\(S_2 = 2(6^2 — 1) = 2 \cdot (36 — 1) = 2 \cdot 35 = 70\).

Второй член равен разности суммы первых двух и первого членов:

\(b_2 = S_2 — S_1 = 70 — 10 = 60\).

Определим знаменатель прогрессии:

\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{60}{10} = 6\).

Проверим формулу суммы геометрической прогрессии:

\(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1} = 10 \cdot \frac{6^n — 1}{6 — 1} = 10 \cdot \frac{6^n — 1}{5} = 2(6^n — 1)\),

что совпадает с заданной формулой.

Таким образом, последовательность является геометрической прогрессией с первым членом \(10\) и знаменателем \(6\).