Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мерзляка и В.М. Полякова — это учебное пособие, созданное в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и входящее в систему учебно-методических комплектов «Алгоритм успеха». Пособие предназначено для закрепления и проверки знаний, полученных на уроках алгебры, и способствует формированию у школьников устойчивых математических умений.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 34 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
- Геометрическая прогрессия \((b_n)\) задана формулой \(n\)-го члена \(b_n = 18 \cdot 3^{n-3}\). Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.
- Сумма \(n\) первых членов геометрической прогрессии равна -99. Найдите \(n\), если первый член прогрессии равен -9, а знаменатель прогрессии равен -2.
- Для любого натурального \(n\) сумму \(n\) первых членов некоторой последовательности можно вычислить по формуле \(S_n = 2(6^n — 1)\). Докажите, что данная последовательность является геометрической прогрессией.
1) \(b_1 = 36\), \(b_2 = -12\), \(q = \frac{b_2}{b_1} = -\frac{1}{3}\)
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{36}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{36}{\frac{4}{3}} = 27\)
Ответ: 27
2) \(b_1 = 21\), \(b_2 = 3\sqrt{7}\), \(q = \frac{3\sqrt{7}}{21} = \frac{\sqrt{7}}{7}\)
\(S = \frac{21}{1 — \frac{\sqrt{7}}{7}} = \frac{21}{\frac{7 — \sqrt{7}}{7}} = \frac{147}{7 — \sqrt{7}}\)
Умножаем на сопряжённое:
\(S = \frac{147(7 + \sqrt{7})}{(7 — \sqrt{7})(7 + \sqrt{7})} = \frac{147(7 + \sqrt{7})}{49 — 7} = \frac{147(7 + \sqrt{7})}{42} = 3.5(7 + \sqrt{7})\)
Ответ: \(3.5(7 + \sqrt{7})\)
1) \(S = 0.7 + 0.07 + 0.007 + \cdots\), \(b_1 = 0.7\), \(b_2 = 0.07\), \(q = \frac{0.07}{0.7} = 0.1\)
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0.7}{1 — 0.1} = \frac{0.7}{0.9} = \frac{7}{9}\)
Ответ: \(\frac{7}{9}\)
2) \(S = 8.3 + 0.018 + 0.00018 + \cdots\), \(b_1 = 0.018\), \(b_2 = 0.00018\), \(q = \frac{0.00018}{0.018} = 0.01\)
\(S = 8.3 + \frac{b_1}{1 — q} = \frac{83}{10} + \frac{0.018}{1 — 0.01} = \frac{83}{10} + \frac{0.018}{0.99} = \frac{83}{10} + \frac{18}{990} = \frac{83}{10} + \frac{1}{55}\)
Общий знаменатель 110:
\(\frac{83 \times 11}{110} + \frac{2}{110} = \frac{913 + 2}{110} = \frac{915}{110} = \frac{183}{22}\)
Ответ: \(\frac{183}{22}\)
\(S_{\text{неч}} = 24\), \(S_{\text{чет}} = 4\)
\(S_{\text{неч}} = \frac{b_1}{1 — q^2} = 24\)
\(S_{\text{чет}} = \frac{b_1 q}{1 — q^2} = 4\)
\(\frac{S_{\text{чет}}}{S_{\text{неч}}} = q = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}\)
\(24 = \frac{b_1}{1 — \frac{1}{36}} = \frac{b_1}{\frac{35}{36}} = b_1 \cdot \frac{36}{35}\)
\(b_1 = 24 \cdot \frac{35}{36} = \frac{70}{3} = 23 \frac{1}{3}\)
Ответ: \(b_1 = 23 \frac{1}{3}\), \(q = \frac{1}{6}\)
1) Дана геометрическая прогрессия с членами 36, -12, 4, … Найдём знаменатель \(q\):
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-12}{36} = -\frac{1}{3}\)
Проверяем условие сходимости: \(|q| = \frac{1}{3} < 1\), значит сумма существует.
Вычисляем сумму бесконечной прогрессии по формуле:
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{36}{1 — (-\frac{1}{3})} = \frac{36}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{36}{\frac{4}{3}} = 36 \times \frac{3}{4} = 27\)
2) Дана геометрическая прогрессия с членами 21, \(3 \sqrt{7}\), 3, … Найдём знаменатель \(q\):
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3 \sqrt{7}}{21} = \frac{\sqrt{7}}{7}\)
Проверяем условие сходимости: \(|q| = \frac{\sqrt{7}}{7} < 1\), сумма существует.
Вычисляем сумму:
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{21}{1 — \frac{\sqrt{7}}{7}} = \frac{21}{\frac{7 — \sqrt{7}}{7}} = 21 \times \frac{7}{7 — \sqrt{7}} = \frac{147}{7 — \sqrt{7}}\)
Домножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(7 + \sqrt{7}\):
\(S = \frac{147 (7 + \sqrt{7})}{(7 — \sqrt{7})(7 + \sqrt{7})} = \frac{147 (7 + \sqrt{7})}{49 — 7} = \frac{147 (7 + \sqrt{7})}{42} = 3.5 (7 + \sqrt{7})\)
1) Число \(0.777…\) можно представить как сумму бесконечной геометрической прогрессии:
\(S = 0.7 + 0.07 + 0.007 + \cdots\)
Первый член \(b_1 = 0.7\), второй \(b_2 = 0.07\), знаменатель:
\(q = \frac{0.07}{0.7} = 0.1\)
Сумма:
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0.7}{1 — 0.1} = \frac{0.7}{0.9} = \frac{7}{9}\)
2) Число \(8.3(18)\) — это \(8.3181818…\), разложим:
\(S = 8.3 + 0.018 + 0.00018 + 0.0000018 + \cdots\)
Первый член прогрессии с повторяющейся частью \(b_1 = 0.018\), второй \(b_2 = 0.00018\), знаменатель:
\(q = \frac{0.00018}{0.018} = 0.01\)
Сумма бесконечной части:
\(S_{\text{бесконечная}} = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0.018}{1 — 0.01} = \frac{0.018}{0.99} = \frac{18}{990} = \frac{1}{55}\)
Общая сумма:
\(S = 8.3 + \frac{1}{55} = \frac{83}{10} + \frac{1}{55}\)
Приводим к общему знаменателю 110:
\(\frac{83 \times 11}{110} + \frac{2}{110} = \frac{913 + 2}{110} = \frac{915}{110} = \frac{183}{22}\)
3) В бесконечной геометрической прогрессии сумма нечётных членов равна 24, сумма чётных — 4. Обозначим первый член \(b_1\), знаменатель \(q\).
Сумма нечётных членов — это прогрессия с первым членом \(b_1\) и знаменателем \(q^2\):
\(S_{\text{неч}} = \frac{b_1}{1 — q^{2}} = 24\)
Сумма чётных членов — прогрессия с первым членом \(b_2 = b_1 q\) и знаменателем \(q^2\):
\(S_{\text{чет}} = \frac{b_1 q}{1 — q^{2}} = 4\)
Делим второе уравнение на первое:
\(\frac{S_{\text{чет}}}{S_{\text{неч}}} = q = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}\)
Подставляем \(q = \frac{1}{6}\) в первое уравнение:
\(24 = \frac{b_1}{1 — \left(\frac{1}{6}\right)^{2}} = \frac{b_1}{1 — \frac{1}{36}} = \frac{b_1}{\frac{35}{36}} = b_1 \times \frac{36}{35}\)
Отсюда
\(b_1 = 24 \times \frac{35}{36} = \frac{840}{36} = \frac{70}{3} = 23 \frac{1}{3}\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.