ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 34 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) 100; -20; 4; … ;

2) 20, \(4\sqrt{5}\), 4, … .

2. Запишите в виде обыкновенной дроби число:

1) 0,888… ;

2) 5,1(26).

3. В бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем \(q\), где \(|q| < 1\), сумма членов с нечётными номерами равна -32, а сумма членов с чётными номерами равна 8. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

1) \(b_1 = 100, b_2 = -20, q = \frac{b_2}{b_1} = -\frac{1}{5}\)
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{100}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{100}{\frac{6}{5}} = \frac{100 \cdot 5}{6} = \frac{500}{6} = 83 \frac{1}{3}\)
Ответ: \(83 \frac{1}{3}\)

2) \(b_1 = 20, b_2 = 4\sqrt{5}, q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sqrt{5}}{5}\)
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{20}{1 — \frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{20}{\frac{5 — \sqrt{5}}{5}} = \frac{20 \cdot 5}{5 — \sqrt{5}} = \frac{100}{5 — \sqrt{5}}\)
Умножим на сопряжённое:
\(S = \frac{100(5 + \sqrt{5})}{(5 — \sqrt{5})(5 + \sqrt{5})} = \frac{100(5 + \sqrt{5})}{25 — 5} = \frac{100(5 + \sqrt{5})}{20} = 5(5 + \sqrt{5})\)
Ответ: \(5(5 + \sqrt{5})\)

1) \(b_1 = 0.8, b_2 = 0.08, q = \frac{b_2}{b_1} = 0.1\)
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0.8}{1 — 0.1} = \frac{0.8}{0.9} = \frac{8}{9}\)
Ответ: \(\frac{8}{9}\)

2) \(b_1 = 0.026, b_2 = 0.00026, q = \frac{b_2}{b_1} = 0.01\)
\(S = 5.1 + \frac{b_1}{1 — q} = \frac{51}{10} + \frac{0.026}{1 — 0.01} = \frac{51}{10} + \frac{0.026}{0.99} = \frac{51}{10} + \frac{26}{990}\)
Приводим к общему знаменателю:
\(\frac{51}{10} = \frac{5049}{990}\)
Суммируем:
\(S = \frac{5049}{990} + \frac{26}{990} = \frac{5075}{990} = \frac{1015}{198}\)
Ответ: \(\frac{1015}{198}\)

\(S_{\text{чёт}} = 8, S_{\text{неч}} = -32\)
\(S_{\text{чёт}} = S_{\text{неч}} \cdot q\)
\(8 = -32 q \Rightarrow q = -\frac{1}{4}\)
\(S_{\text{неч}} = \frac{b_1}{1 — q^2} = -32\)
\(1 — q^2 = 1 — \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 1 — \frac{1}{16} = \frac{15}{16}\)
\(b_1 = -32 \cdot \frac{15}{16} = -30\)
Ответ: \(b_1 = -30, q = -\frac{1}{4}\)

1) Даны первые два члена прогрессии: \(b_1 = 100\), \(b_2 = -20\). Найдём знаменатель прогрессии:
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-20}{100} = -\frac{1}{5}\).
Поскольку \(|q| < 1\), сумма бесконечной геометрической прогрессии равна:
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{100}{1 — \left(-\frac{1}{5}\right)} = \frac{100}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{100}{\frac{6}{5}} = 100 \cdot \frac{5}{6} = \frac{500}{6} = 83 \frac{1}{3}\).

2) Даны первые два члена прогрессии: \(b_1 = 20\), \(b_2 = 4\sqrt{5}\). Найдём знаменатель прогрессии:
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{4\sqrt{5}}{20} = \frac{\sqrt{5}}{5}\).
Сумма бесконечной геометрической прогрессии:
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{20}{1 — \frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{20}{\frac{5 — \sqrt{5}}{5}} = 20 \cdot \frac{5}{5 — \sqrt{5}} = \frac{100}{5 — \sqrt{5}}\).
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:
\(S = \frac{100(5 + \sqrt{5})}{(5 — \sqrt{5})(5 + \sqrt{5})} = \frac{100(5 + \sqrt{5})}{25 — 5} = \frac{100(5 + \sqrt{5})}{20} = 5(5 + \sqrt{5})\).

3) Дано число \(0{,}888…\), это бесконечная десятичная дробь с первым членом прогрессии \(b_1 = 0{,}8\) и знаменателем \(q = 0{,}1\) (так как следующий член \(0{,}08 = 0{,}8 \cdot 0{,}1\)).
Сумма прогрессии:
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0{,}8}{1 — 0{,}1} = \frac{0{,}8}{0{,}9} = \frac{8}{9}\).

4) Дано число \(5{,}1(26) = 5{,}1262626…\). Представим его как сумму:
\(5{,}1 + 0{,}026 + 0{,}00026 + 0{,}0000026 + \ldots\)
Первый член прогрессии для периодической части: \(b_1 = 0{,}026\), знаменатель \(q = 0{,}01\) (потому что каждый следующий член в 100 раз меньше предыдущего).
Сумма периодической части:
\(S_{\text{period}} = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0{,}026}{1 — 0{,}01} = \frac{0{,}026}{0{,}99} = \frac{26}{990}\).
Общее число:
\(S = 5{,}1 + S_{\text{period}} = \frac{51}{10} + \frac{26}{990}\).
Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{51}{10} = \frac{5049}{990}\).
Сложим:
\(S = \frac{5049}{990} + \frac{26}{990} = \frac{5075}{990} = \frac{1015}{198}\).

5) Даны суммы чётных и нечётных членов прогрессии: \(S_{\text{чёт}} = 8\), \(S_{\text{неч}} = -32\).
Из условия известно, что:
\(S_{\text{чёт}} = S_{\text{неч}} \cdot q\).
Подставим значения:
\(8 = -32 q\), откуда \(q = -\frac{1}{4}\).
Сумма нечётных членов равна:
\(S_{\text{неч}} = \frac{b_1}{1 — q^{2}} = -32\).
Вычислим \(1 — q^{2}\):
\(1 — \left(-\frac{1}{4}\right)^{2} = 1 — \frac{1}{16} = \frac{15}{16}\).
Найдём \(b_1\):
\(b_1 = -32 \cdot \frac{15}{16} = -30\).
Ответ:
\(b_1 = -30\), \(q = -\frac{1}{4}\).