ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 34 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) \(-96, 24, -6, \ldots\);

2) \(15, 5\sqrt{3}, 5, \ldots\).

2. Запишите в виде обыкновенной дроби число:

1) \(0,444\ldots\);

2) \(3,7(32)\).

3. В бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем \(q\), где \(|q| < 1\), сумма членов с нечётными номерами равна 45, а сумма членов с чётными номерами равна 9. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

1) \(b_1 = -96\), \(b_2 = 24\), \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{24}{-96} = -\frac{1}{4}\)

\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{-96}{1 — (-\frac{1}{4})} = \frac{-96}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{-96}{\frac{5}{4}} = -96 \cdot \frac{4}{5} = -76,8\)

Ответ: \(-76,8\)

2) \(b_1 = 15\), \(b_2 = 5\sqrt{3}\), \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5\sqrt{3}}{15} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{15}{1 — \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{15}{\frac{3 — \sqrt{3}}{3}} = 15 \cdot \frac{3}{3 — \sqrt{3}} = \frac{45}{3 — \sqrt{3}}\)

\(S = \frac{45}{3 — \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{45(3 + \sqrt{3})}{9 — 3} = \frac{45(3 + \sqrt{3})}{6} = 7,5(3 + \sqrt{3})\)

Ответ: \(7,5(3 + \sqrt{3})\)

3) \(b_1 = 0,4\), \(b_2 = 0,04\), \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,04}{0,4} = 0,1\)

\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,4}{1 — 0,1} = \frac{0,4}{0,9} = \frac{4}{9}\)

Ответ: \(\frac{4}{9}\)

4) Пусть первый член \(a\), знаменатель \(q\), тогда

\(S_{\text{нечёт}} = \frac{a}{1 — q^2} = 45\)

\(S_{\text{чёт}} = \frac{a q}{1 — q^2} = 9\)

Разделим второе уравнение на первое:

\(\frac{a q}{1 — q^2} : \frac{a}{1 — q^2} = \frac{9}{45}\)

\(q = \frac{1}{5}\)

Подставим в первое:

\(\frac{a}{1 — \left(\frac{1}{5}\right)^2} = 45\)

\(\frac{a}{1 — \frac{1}{25}} = 45\)

\(\frac{a}{\frac{24}{25}} = 45\)

\(a = 45 \cdot \frac{24}{25} = \frac{1080}{25} = 43,2\)

Ответ: \(a = 43,2\), \(q = \frac{1}{5}\)

1) Дана геометрическая прогрессия с первыми членами \(b_1 = -96\), \(b_2 = 24\). Найдём знаменатель прогрессии: \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{24}{-96} = -\frac{1}{4}\).

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при \(|q| < 1\) равна \(S = \frac{b_1}{1 — q}\).

Подставим значения: \(S = \frac{-96}{1 — (-\frac{1}{4})} = \frac{-96}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{-96}{\frac{5}{4}} = -96 \cdot \frac{4}{5} = -76,8\).

Ответ: \(-76,8\).

2) Дана геометрическая прогрессия с первыми членами \(b_1 = 15\), \(b_2 = 5\sqrt{3}\). Найдём знаменатель: \(q = \frac{5\sqrt{3}}{15} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

Сумма бесконечной прогрессии: \(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{15}{1 — \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{15}{\frac{3 — \sqrt{3}}{3}} = 15 \cdot \frac{3}{3 — \sqrt{3}} = \frac{45}{3 — \sqrt{3}}\).

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение: \(S = \frac{45}{3 — \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{45(3 + \sqrt{3})}{9 — 3} = \frac{45(3 + \sqrt{3})}{6} = 7,5(3 + \sqrt{3})\).

Ответ: \(7,5(3 + \sqrt{3})\).

3) Число \(0,444\ldots\) записано как сумма бесконечной геометрической прогрессии: \(0,4 + 0,04 + 0,004 + \ldots\).

Первый член \(b_1 = 0,4\), второй \(b_2 = 0,04\), знаменатель \(q = \frac{0,04}{0,4} = 0,1\).

Сумма: \(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,4}{1 — 0,1} = \frac{0,4}{0,9} = \frac{4}{9}\).

Ответ: \(\frac{4}{9}\).

4) Пусть первый член прогрессии \(a\), знаменатель \(q\), где \(|q| < 1\).

Сумма членов с нечётными номерами: \(S_{\text{нечёт}} = a + a q^2 + a q^4 + \ldots = \frac{a}{1 — q^2} = 45\).

Сумма членов с чётными номерами: \(S_{\text{чёт}} = a q + a q^3 + a q^5 + \ldots = \frac{a q}{1 — q^2} = 9\).

Разделим второе уравнение на первое: \(\frac{\frac{a q}{1 — q^2}}{\frac{a}{1 — q^2}} = \frac{9}{45}\), откуда \(q = \frac{1}{5}\).

Подставим \(q = \frac{1}{5}\) в первое уравнение: \(\frac{a}{1 — \left(\frac{1}{5}\right)^2} = 45\), значит \(\frac{a}{1 — \frac{1}{25}} = 45\).

Упростим: \(\frac{a}{\frac{24}{25}} = 45\), откуда \(a = 45 \cdot \frac{24}{25} = \frac{1080}{25} = 43,2\).

Ответ: \(a = 43,2\), \(q = \frac{1}{5}\).