ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 34 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) \(-72, 24, -8, \ldots\);

2) \(12, 6\sqrt{2}, 2, \ldots\).

2. Запишите в виде обыкновенной дроби число:

1) \(0,333\ldots\);

2) \(4,2(41)\).

3. В бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем \(q\), где \(|q| < 1\), сумма членов с нечётными номерами равна 24, а сумма членов с чётными номерами равна -8. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

1) \(b_1 = -72\), \(b_2 = 24\), \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{24}{-72} = -\frac{1}{3}\)
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{-72}{1 — (-\frac{1}{3})} = \frac{-72}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{-72}{\frac{4}{3}} = -72 \times \frac{3}{4} = -54\)

2) \(b_1 = 12\), \(b_2 = 6\sqrt{2}\), \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{12}{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12}{\frac{2 — \sqrt{2}}{2}} = 12 \times \frac{2}{2 — \sqrt{2}} = \frac{24}{2 — \sqrt{2}}\)
Умножаем на сопряжённое:
\(S = \frac{24}{2 — \sqrt{2}} \times \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{24(2 + \sqrt{2})}{4 — 2} = \frac{24(2 + \sqrt{2})}{2} = 12(2 + \sqrt{2})\)

1) \(b_1 = 0{,}3\), \(b_2 = 0{,}03\), \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0{,}03}{0{,}3} = 0{,}1\)
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0{,}3}{1 — 0{,}1} = \frac{0{,}3}{0{,}9} = \frac{1}{3}\)

2) \(b_1 = 0{,}041\), \(b_2 = 0{,}00041\), \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0{,}00041}{0{,}041} = 0{,}01\)
\(S = 4{,}2 + \frac{b_1}{1 — q} = \frac{42}{10} + \frac{0{,}041}{1 — 0{,}01} = \frac{42}{10} + \frac{0{,}041}{0{,}99} = \frac{42}{10} + \frac{41}{990} = \frac{4158}{990} + \frac{41}{990} = \frac{4199}{990}\)

\(S_{\text{неч}} = 24\), \(S_{\text{чет}} = -8\), \(S_{\text{чет}} = S_{\text{неч}} \times q\)
\(-8 = 24q\), \(q = -\frac{1}{3}\)
\(S = S_{\text{неч}} + S_{\text{чет}} = 24 — 8 = 16\)
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = 16\)
\(16 = \frac{b_1}{1 — (-\frac{1}{3})} = \frac{b_1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{b_1}{\frac{4}{3}} = b_1 \times \frac{3}{4}\)
\(b_1 = 16 \times \frac{4}{3} = \frac{64}{3} = 21 \frac{1}{3}\)

Ответ: \(b_1 = 21 \frac{1}{3}\), \(q = -\frac{1}{3}\)

1) Дана геометрическая прогрессия с первым членом \(b_1 = -72\) и вторым членом \(b_2 = 24\). Найдём знаменатель прогрессии:
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{24}{-72} = -\frac{1}{3}\).
Поскольку \(|q| < 1\), сумма бесконечной прогрессии равна:
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{-72}{1 — (-\frac{1}{3})} = \frac{-72}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{-72}{\frac{4}{3}} = -72 \times \frac{3}{4} = -54\).

2) Для прогрессии с первым членом \(b_1 = 12\) и вторым членом \(b_2 = 6\sqrt{2}\) знаменатель равен:
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Сумма бесконечной прогрессии:
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{12}{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12}{\frac{2 — \sqrt{2}}{2}} = 12 \times \frac{2}{2 — \sqrt{2}} = \frac{24}{2 — \sqrt{2}}\).
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:
\(S = \frac{24}{2 — \sqrt{2}} \times \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{24(2 + \sqrt{2})}{4 — 2} = \frac{24(2 + \sqrt{2})}{2} = 12(2 + \sqrt{2})\).

3) Число \(0{,}333\ldots\) можно представить как сумму геометрической прогрессии с первым членом \(b_1 = 0{,}3\) и знаменателем \(q = 0{,}1\), так как:
\(q = \frac{0{,}03}{0{,}3} = 0{,}1\).
Сумма прогрессии равна:
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0{,}3}{1 — 0{,}1} = \frac{0{,}3}{0{,}9} = \frac{1}{3}\).

4) Число \(4{,}2(41)\) разложим на сумму:
\(4{,}2 + 0{,}041 + 0{,}00041 + 0{,}0000041 + \ldots\).
Это геометрическая прогрессия с первым членом \(b_1 = 0{,}041\) и знаменателем:
\(q = \frac{0{,}00041}{0{,}041} = 0{,}01\).
Сумма прогрессии:
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0{,}041}{1 — 0{,}01} = \frac{0{,}041}{0{,}99} = \frac{41}{990}\).
Общая сумма числа:
\(4{,}2 + \frac{41}{990} = \frac{42}{10} + \frac{41}{990} = \frac{42 \times 99}{990} + \frac{41}{990} = \frac{4158 + 41}{990} = \frac{4199}{990}\).

5) Из условия: сумма членов с нечётными номерами \(S_{\text{неч}} = 24\), сумма членов с чётными номерами \(S_{\text{чет}} = -8\), и \(S_{\text{чет}} = S_{\text{неч}} \times q\).
Подставляем:
\(-8 = 24q\), откуда \(q = -\frac{1}{3}\).
Полная сумма прогрессии:
\(S = S_{\text{неч}} + S_{\text{чет}} = 24 — 8 = 16\).
Сумма бесконечной прогрессии:
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = 16\).
Подставляем \(q = -\frac{1}{3}\):
\(16 = \frac{b_1}{1 — (-\frac{1}{3})} = \frac{b_1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{b_1}{\frac{4}{3}} = b_1 \times \frac{3}{4}\).
Отсюда:
\(b_1 = 16 \times \frac{4}{3} = \frac{64}{3} = 21 \frac{1}{3}\).