ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 35 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Найдите сумму \(4 + \frac{19}{3} + \frac{82}{9} + \ldots + \frac{3^n \cdot n + 1}{3^n}\).

2  Найдите сумму

\(\left(2 + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(2^2 + \frac{1}{2^2}\right)^2 + \left(2^3 + \frac{1}{2^3}\right)^2 + \ldots + \left(2^n + \frac{1}{2^n}\right)^2\).

3. Найдите сумму \(\frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 15} + \ldots + \frac{1}{(4n — 1)(4n + 3)}\).

1. Сумма ряда:
\(S_n = (1 + \frac{1}{3}) + (2 + \frac{1}{3^2}) + \cdots + (n + \frac{1}{3^n}) =\)
\(= (1 + 2 + \cdots + n) + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^n}\right)\)
\(= \frac{n(n+1)}{2} + \frac{\frac{1}{3}(1 — (\frac{1}{3})^n)}{1 — \frac{1}{3}} = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{1}{2}\left(1 — \frac{1}{3^n}\right)\)
\(= \frac{n^2 + n + 1}{2} — \frac{1}{2 \cdot 3^n}\)

2. Сумма ряда:
\(S_n = \left(2 + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(2^2 + \frac{1}{2^2}\right)^2 + \cdots + \left(2^n + \frac{1}{2^n}\right)^2\)
\(= \sum_{k=1}^n \left(2^{2k} + 2 + \frac{1}{2^{2k}}\right) = \sum_{k=1}^n 2^{2k} + \sum_{k=1}^n 2 + \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^{2k}}\)
\(= \frac{4}{3}(4^n — 1) + 2n + \frac{1}{3}\left(1 — \frac{1}{4^n}\right)\)
\(= 2n + \frac{4}{3}4^n — 1 — \frac{1}{3 \cdot 4^n}\)

3. Сумма ряда:
\(S_n = \frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 11} + \cdots + \frac{1}{(4n — 1)(4n + 3)}\)
Разложим:
\(\frac{1}{(4k — 1)(4k + 3)} = \frac{1/4}{4k — 1} — \frac{1/4}{4k + 3}\)
Тогда
\(S_n = \frac{1}{4}\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{4k — 1} — \frac{1}{4k + 3}\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{3} — \frac{1}{4n + 3}\right) = \frac{1}{12} — \frac{1}{4(4n + 3)}\)

1. Рассмотрим общий член ряда:
\(a_n = \frac{3^n \cdot n + 1}{3^n}\).
Раскроем дробь:
\(a_n = n + \frac{1}{3^n}\).

Сумма первых \(n\) членов будет:
\(S_n = \sum_{k=1}^n \left(k + \frac{1}{3^k}\right) = \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n \frac{1}{3^k}\).

Первая сумма — арифметическая прогрессия:
\(\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\).

Вторая сумма — геометрическая прогрессия с первым членом \(\frac{1}{3}\) и знаменателем \(\frac{1}{3}\):
\(\sum_{k=1}^n \frac{1}{3^k} = \frac{\frac{1}{3}(1 — (\frac{1}{3})^n)}{1 — \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}(1 — \frac{1}{3^n})}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}\left(1 — \frac{1}{3^n}\right)\).

Итог:
\(S_n = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{1}{2}\left(1 — \frac{1}{3^n}\right) = \frac{n^2 + n + 1}{2} — \frac{1}{2 \cdot 3^n}\).

2. Рассмотрим сумму:
\(S_n = \sum_{k=1}^n \left(2^k + \frac{1}{2^k}\right)^2\).

Раскроем квадрат:
\(\left(2^k + \frac{1}{2^k}\right)^2 = (2^k)^2 + 2 \cdot 2^k \cdot \frac{1}{2^k} + \left(\frac{1}{2^k}\right)^2 = 2^{2k} + 2 + 2^{-2k}\).

Разобьём сумму:
\(S_n = \sum_{k=1}^n 2^{2k} + \sum_{k=1}^n 2 + \sum_{k=1}^n 2^{-2k}\).

Первая сумма — геометрическая прогрессия с \(a_1=4\), знаменатель \(q=4\):
\(\sum_{k=1}^n 4^k = 4 \frac{4^n — 1}{4 — 1} = \frac{4}{3}(4^n — 1)\).

Вторая сумма:
\(\sum_{k=1}^n 2 = 2n\).

Третья сумма — геометрическая прогрессия с \(a_1 = \frac{1}{4}\), знаменатель \(q = \frac{1}{4}\):
\(\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{4}\right)^k = \frac{\frac{1}{4}(1 — (\frac{1}{4})^n)}{1 — \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}(1 — \frac{1}{4^n})}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}\left(1 — \frac{1}{4^n}\right)\).

Итог:
\(S_n = \frac{4}{3}(4^n — 1) + 2n + \frac{1}{3}\left(1 — \frac{1}{4^n}\right) = 2n + \frac{4}{3}4^n — 1 — \frac{1}{3 \cdot 4^n}\).

3. Рассмотрим общий член:
\(a_k = \frac{1}{(4k — 1)(4k + 3)}\).

Разложим на простые дроби:
\(\frac{1}{(4k — 1)(4k + 3)} = \frac{A}{4k — 1} + \frac{B}{4k + 3}\).

Умножим на знаменатель:
\(1 = A(4k + 3) + B(4k — 1) = (4A + 4B)k + (3A — B)\).

Приравниваем коэффициенты:
\(4A + 4B = 0 \Rightarrow A = -B\),
\(3A — B = 1\).

Подставим \(A = -B\):
\(3(-B) — B = 1 \Rightarrow -3B — B = 1 \Rightarrow -4B = 1 \Rightarrow B = -\frac{1}{4}\).

Тогда
\(A = \frac{1}{4}\).

Итог:
\(a_k = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{4k — 1} — \frac{1}{4k + 3}\right)\).

Сумма первых \(n\) членов:
\(S_n = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{4k — 1} — \frac{1}{4k + 3}\right)\).

Раскроем сумму:
\(S_n = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{7} + \frac{1}{7} — \frac{1}{11} + \cdots + \frac{1}{4n — 1} — \frac{1}{4n + 3}\right)\).

Внутренние слагаемые сокращаются:
\(S_n = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{4n + 3}\right) = \frac{1}{12} — \frac{1}{4(4n + 3)}\).