Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мерзляка и В.М. Полякова — это учебное пособие, созданное в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и входящее в систему учебно-методических комплектов «Алгоритм успеха». Пособие предназначено для закрепления и проверки знаний, полученных на уроках алгебры, и способствует формированию у школьников устойчивых математических умений.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 35 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
1. Найдите сумму \(\frac{3}{4} + \frac{31}{16} + \frac{191}{64} + \ldots + \frac{4^n \cdot n — 1}{4^n}\).
2. Найдите сумму
\(\left(3 — \frac{1}{3}\right)^2 + \left(3^2 — \frac{1}{3^2}\right)^2 + \left(3^3 — \frac{1}{3^3}\right)^2 + \ldots + \left(3^n — \frac{1}{3^n}\right)^2\).
3. Найдите сумму \(\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \ldots + \frac{1}{(3n — 1)(3n + 2)}\).
1. Найти сумму ряда:
\( \frac{3}{4} + \frac{31}{16} + \frac{191}{64} + \ldots + \frac{4^n \cdot n — 1}{4^n} \)
Общий член:
\( a_n = n — \frac{1}{4^n} \)
Сумма:
\( S_n = \sum_{k=1}^n k — \sum_{k=1}^n \frac{1}{4^k} = \frac{n(n+1)}{2} — \frac{\frac{1}{4}(1 — (\frac{1}{4})^n)}{1 — \frac{1}{4}} = \frac{n(n+1)}{2} — \frac{1}{3} \left(1 — \frac{1}{4^n}\right) =\)
\(= \frac{n(n+1)}{2} — \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4^n} \)
2. Найти сумму ряда:
\( \left(3 — \frac{1}{3}\right)^2 + \left(3^2 — \frac{1}{3^2}\right)^2 + \ldots + \left(3^n — \frac{1}{3^n}\right)^2 \)
Раскроем квадрат:
\( (3^k — \frac{1}{3^k})^2 = 3^{2k} — 2 + 3^{-2k} \)
Сумма:
\( S_n = \sum_{k=1}^n 3^{2k} — 2n + \sum_{k=1}^n 3^{-2k} = \frac{9(9^n — 1)}{8} — 2n + \frac{\frac{1}{9}(1 — \frac{1}{9^n})}{1 — \frac{1}{9}} =\)
\(= \frac{9(9^n — 1)}{8} — 2n + \frac{1}{8} \left(1 — \frac{1}{9^n}\right) = \frac{9^{n+1}}{8} — 2n — 1 — \frac{1}{8 \cdot 9^n} \)
3. Найти сумму ряда:
\( \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \ldots + \frac{1}{(3n — 1)(3n + 2)} \)
Разложение в простые дроби:
\( \frac{1}{(3k — 1)(3k + 2)} = \frac{1/3}{3k — 1} — \frac{1/3}{3k + 2} \)
Сумма:
\( S_n = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{3k — 1} — \frac{1}{3k + 2}\right) = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2} — \frac{1}{3n + 2}\right) = \frac{1}{6} — \frac{1}{3(3n + 2)} \)
1. Рассмотрим первый ряд:
\( \frac{3}{4} + \frac{31}{16} + \frac{191}{64} + \ldots + \frac{4^n \cdot n — 1}{4^n} \).
Общий член можно записать так:
\( a_n = \frac{4^n \cdot n — 1}{4^n} = n — \frac{1}{4^n} \).
2. Сумма первых \( n \) членов будет:
\( S_n = \sum_{k=1}^n \left(k — \frac{1}{4^k}\right) = \sum_{k=1}^n k — \sum_{k=1}^n \frac{1}{4^k} \).
3. Первая сумма — это сумма натуральных чисел от 1 до \( n \):
\( \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \).
4. Вторая сумма — геометрическая прогрессия с первым членом \( \frac{1}{4} \) и знаменателем \( \frac{1}{4} \):
\( \sum_{k=1}^n \frac{1}{4^k} = \frac{\frac{1}{4}\left(1 — \left(\frac{1}{4}\right)^n\right)}{1 — \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}\left(1 — \frac{1}{4^n}\right)}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}\left(1 — \frac{1}{4^n}\right) \).
5. Подставим в формулу для суммы:
\( S_n = \frac{n(n+1)}{2} — \frac{1}{3}\left(1 — \frac{1}{4^n}\right) = \frac{n(n+1)}{2} — \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4^n} \).
6. Рассмотрим второй ряд:
\( \left(3 — \frac{1}{3}\right)^2 + \left(3^2 — \frac{1}{3^2}\right)^2 + \ldots + \left(3^n — \frac{1}{3^n}\right)^2 \).
7. Раскроем квадрат:
\( \left(3^k — \frac{1}{3^k}\right)^2 = (3^k)^2 — 2 \cdot 3^k \cdot \frac{1}{3^k} + \left(\frac{1}{3^k}\right)^2 = 3^{2k} — 2 + 3^{-2k} \).
8. Сумма первых \( n \) членов:
\( S_n = \sum_{k=1}^n \left(3^{2k} — 2 + 3^{-2k}\right) = \sum_{k=1}^n 3^{2k} — 2n + \sum_{k=1}^n 3^{-2k} \).
9. Первая сумма — геометрическая прогрессия с первым членом \( 3^2 = 9 \) и знаменателем \( 9 \):
\( \sum_{k=1}^n 3^{2k} = 9 + 9^2 + \ldots + 9^n = 9 \frac{9^n — 1}{9 — 1} = \frac{9(9^n — 1)}{8} \).
10. Третья сумма — геометрическая прогрессия с первым членом \( \frac{1}{9} \) и знаменателем \( \frac{1}{9} \):
\( \sum_{k=1}^n 3^{-2k} = \frac{\frac{1}{9}\left(1 — \left(\frac{1}{9}\right)^n\right)}{1 — \frac{1}{9}} = \frac{\frac{1}{9}\left(1 — \frac{1}{9^n}\right)}{\frac{8}{9}} = \frac{1}{8}\left(1 — \frac{1}{9^n}\right) \).
11. Подставим все в сумму:
\( S_n = \frac{9(9^n — 1)}{8} — 2n + \frac{1}{8}\left(1 — \frac{1}{9^n}\right) = \frac{9^{n+1} — 9}{8} — 2n + \frac{1}{8} — \frac{1}{8 \cdot 9^n} \).
12. Упростим:
\( S_n = \frac{9^{n+1}}{8} — 2n — 1 — \frac{1}{8 \cdot 9^n} \).
13. Рассмотрим третий ряд:
\( \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \ldots + \frac{1}{(3n — 1)(3n + 2)} \).
14. Общий член:
\( a_k = \frac{1}{(3k — 1)(3k + 2)} \).
15. Разложим в простые дроби:
\( \frac{1}{(3k — 1)(3k + 2)} = \frac{A}{3k — 1} + \frac{B}{3k + 2} \).
16. Умножим на знаменатель:
\( 1 = A(3k + 2) + B(3k — 1) = 3k(A + B) + (2A — B) \).
17. Приравняем коэффициенты:
\( 0 = 3(A + B) \Rightarrow A + B = 0 \Rightarrow B = -A \),
\( 1 = 2A — B = 2A — (-A) = 3A \Rightarrow A = \frac{1}{3}, B = -\frac{1}{3} \).
18. Тогда:
\( a_k = \frac{1/3}{3k — 1} — \frac{1/3}{3k + 2} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3k — 1} — \frac{1}{3k + 2}\right) \).
19. Сумма первых \( n \) членов:
\( S_n = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{3k — 1} — \frac{1}{3k + 2}\right) \).
20. Это телескопический ряд, раскрываем сумму:
\( S_n = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2} — \frac{1}{3n + 2}\right) = \frac{1}{6} — \frac{1}{3(3n + 2)} \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.