Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мерзляка и В.М. Полякова — это учебное пособие, созданное в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и входящее в систему учебно-методических комплектов «Алгоритм успеха». Пособие предназначено для закрепления и проверки знаний, полученных на уроках алгебры, и способствует формированию у школьников устойчивых математических умений.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 35 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
1. Найдите сумму \(\frac{6}{5} + \frac{51}{25} + \frac{376}{125} + \ldots + \frac{5^n \cdot n + 1}{5^n}\).
2. Найдите сумму
\(\left(5 + \frac{1}{5}\right)^2 + \left(5^2 + \frac{1}{5^2}\right)^2 + \left(5^3 + \frac{1}{5^3}\right)^2 + \ldots + \left(5^n + \frac{1}{5^n}\right)^2\).
3. Найдите сумму \(\frac{1}{5 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 17} + \frac{1}{17 \cdot 23} + \ldots + \frac{1}{(6n — 1)(6n + 5)}\).
1. Сумма ряда
\( \frac{6}{5} + \frac{51}{25} + \frac{376}{125} + \ldots + \frac{5^n \cdot n + 1}{5^n} = \sum_{k=1}^n \left(k + \frac{1}{5^k}\right) = \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n \frac{1}{5^k} =\)
\(= \frac{n(n+1)}{2} + \frac{\frac{1}{5}\left(1 — \left(\frac{1}{5}\right)^n\right)}{1 — \frac{1}{5}} = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{1}{4}\left(1 — \frac{1}{5^n}\right) \)
2. Сумма ряда
\( \left(5 + \frac{1}{5}\right)^2 + \left(5^2 + \frac{1}{5^2}\right)^2 + \ldots + \left(5^n + \frac{1}{5^n}\right)^2 = \sum_{k=1}^n \left(5^{2k} + 2 + 5^{-2k}\right) =\)
\(= 2n + \sum_{k=1}^n 25^k + \sum_{k=1}^n \frac{1}{25^k} = 2n + \frac{25(25^n — 1)}{24} + \frac{\frac{1}{25}(1 — \frac{1}{25^n})}{1 — \frac{1}{25}} =\)
\(= 2n + \frac{25(25^n — 1)}{24} + \frac{1}{24}\left(1 — \frac{1}{25^n}\right) = 2n + \frac{25^{n+1} — 25}{24} + \frac{1}{24} — \frac{1}{24 \cdot 25^n} =\)
\(= 2n + \frac{25^{n+1} — 24}{24} — \frac{1}{24 \cdot 25^n} \)
3. Сумма ряда
\( \frac{1}{5 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 17} + \ldots + \frac{1}{(6n — 1)(6n + 5)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(6k — 1)(6k + 5)} =\)
\(= \sum_{k=1}^n \frac{1}{6}\left(\frac{1}{6k — 1} — \frac{1}{6k + 5}\right) = \frac{1}{6}\left(\frac{1}{5} — \frac{1}{6n + 5}\right) = \frac{1}{30} — \frac{1}{6(6n + 5)} \)
1. Рассмотрим общий член ряда: \(a_n = \frac{5^n \cdot n + 1}{5^n}\). Распишем дробь: \(a_n = n + \frac{1}{5^n}\). Значит, сумма первых \(n\) членов равна \(S_n = \sum_{k=1}^n \left(k + \frac{1}{5^k}\right)\).
Сумму можно разбить на две части: \(S_n = \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n \frac{1}{5^k}\).
Первая сумма — арифметическая прогрессия с формулой \(\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\).
Вторая сумма — геометрическая прогрессия с первым членом \(\frac{1}{5}\) и знаменателем \(\frac{1}{5}\), формула суммы: \(\sum_{k=1}^n \frac{1}{5^k} = \frac{\frac{1}{5}\left(1 — \left(\frac{1}{5}\right)^n\right)}{1 — \frac{1}{5}} = \frac{1}{4}\left(1 — \frac{1}{5^n}\right)\).
Итого сумма равна \(S_n = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{1}{4}\left(1 — \frac{1}{5^n}\right)\).
2. Рассмотрим общий член второго ряда: \(\left(5^k + \frac{1}{5^k}\right)^2\). Раскроем скобки: \(\left(5^k\right)^2 + 2 \cdot 5^k \cdot \frac{1}{5^k} + \left(\frac{1}{5^k}\right)^2 = 5^{2k} + 2 + 5^{-2k}\).
Сумма первых \(n\) членов: \(S_n = \sum_{k=1}^n \left(5^{2k} + 2 + 5^{-2k}\right) = \sum_{k=1}^n 5^{2k} + \sum_{k=1}^n 2 + \sum_{k=1}^n 5^{-2k}\).
Первая сумма — геометрическая прогрессия с первым членом \(25\) и знаменателем \(25\): \(\sum_{k=1}^n 25^k = 25 \frac{25^n — 1}{25 — 1} = \frac{25(25^n — 1)}{24}\).
Вторая сумма: \(\sum_{k=1}^n 2 = 2n\).
Третья сумма — геометрическая прогрессия с первым членом \(\frac{1}{25}\) и знаменателем \(\frac{1}{25}\): \(\sum_{k=1}^n \frac{1}{25^k} = \frac{\frac{1}{25}\left(1 — \left(\frac{1}{25}\right)^n\right)}{1 — \frac{1}{25}} = \frac{1}{24}\left(1 — \frac{1}{25^n}\right)\).
Складываем все вместе: \(S_n = 2n + \frac{25(25^n — 1)}{24} + \frac{1}{24}\left(1 — \frac{1}{25^n}\right)\).
Упростим: \(S_n = 2n + \frac{25^{n+1} — 25}{24} + \frac{1}{24} — \frac{1}{24 \cdot 25^n} = 2n + \frac{25^{n+1} — 24}{24} — \frac{1}{24 \cdot 25^n}\).
3. Рассмотрим общий член третьего ряда: \(a_k = \frac{1}{(6k — 1)(6k + 5)}\).
Разложим на простые дроби: \(\frac{1}{(6k — 1)(6k + 5)} = \frac{A}{6k — 1} + \frac{B}{6k + 5}\).
Умножим обе части на знаменатель: \(1 = A(6k + 5) + B(6k — 1)\).
Подставим \(k = \frac{1}{6}\): \(1 = 6A \Rightarrow A = \frac{1}{6}\).
Подставим \(k = -\frac{5}{6}\): \(1 = -6B \Rightarrow B = -\frac{1}{6}\).
Значит, \(a_k = \frac{1}{6} \left(\frac{1}{6k — 1} — \frac{1}{6k + 5}\right)\).
Сумма первых \(n\) членов: \(S_n = \frac{1}{6} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{6k — 1} — \frac{1}{6k + 5}\right)\).
Раскроем сумму: \(S_n = \frac{1}{6} \left(\frac{1}{5} — \frac{1}{11} + \frac{1}{11} — \frac{1}{17} + \ldots + \frac{1}{6n — 1} — \frac{1}{6n + 5}\right)\).
Все внутренние члены сокращаются, остается \(S_n = \frac{1}{6} \left(\frac{1}{5} — \frac{1}{6n + 5}\right)\).
Упростим: \(S_n = \frac{1}{6} \cdot \frac{6n + 5 — 5}{5(6n + 5)} = \frac{1}{6} \cdot \frac{6n}{5(6n + 5)} = \frac{n}{5(6n + 5)}\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.