Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мерзляка и В.М. Полякова — это учебное пособие, созданное в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и входящее в систему учебно-методических комплектов «Алгоритм успеха». Пособие предназначено для закрепления и проверки знаний, полученных на уроках алгебры, и способствует формированию у школьников устойчивых математических умений.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 35 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
1. Найдите сумму \(\frac{5}{6} + \frac{71}{36} + \frac{647}{216} + \ldots + \frac{6^n \cdot n — 1}{6^n}\).
2. Найдите сумму
\(\left(4 — \frac{1}{4}\right)^2 + \left(4^2 — \frac{1}{4^2}\right)^2 + \left(4^3 — \frac{1}{4^3}\right)^2 + \ldots + \left(4^n — \frac{1}{4^n}\right)^2\).
3. Найдите сумму \(\frac{1}{3 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 18} + \frac{1}{13 \cdot 18} + \ldots + \frac{1}{(6n — 2)(5n + 3)}\).
1. Сумма ряда \( \frac{5}{6} + \frac{71}{36} + \frac{647}{216} + \ldots + \frac{6^n \cdot n — 1}{6^n} \):
Преобразуем член ряда: \( a_n = n — \frac{1}{6^n} \).
Сумма первых \( n \) членов:
\( S_n = \sum_{k=1}^n \left(k — \frac{1}{6^k}\right) = \sum_{k=1}^n k — \sum_{k=1}^n \frac{1}{6^k} \).
Сумма натуральных чисел: \( \frac{n(n+1)}{2} \).
Сумма геометрической прогрессии: \( \frac{\frac{1}{6}(1 — \frac{1}{6^n})}{1 — \frac{1}{6}} = \frac{1}{5}\left(1 — \frac{1}{6^n}\right) \).
Итог:
\( S_n = \frac{n(n+1)}{2} — \frac{1}{5} + \frac{1}{5 \cdot 6^n} \).
2. Сумма ряда \( \left(4 — \frac{1}{4}\right)^2 + \left(4^2 — \frac{1}{4^2}\right)^2 + \ldots + \left(4^n — \frac{1}{4^n}\right)^2 \):
Раскроем квадрат:
\( \left(4^k — \frac{1}{4^k}\right)^2 = 4^{2k} — 2 + 4^{-2k} \).
Сумма:
\( S_n = \sum_{k=1}^n 4^{2k} — \sum_{k=1}^n 2 + \sum_{k=1}^n 4^{-2k} \).
Вычисляем:
\( \sum_{k=1}^n 16^k = \frac{16(16^n — 1)}{15} \),
\( \sum_{k=1}^n 2 = 2n \),
\( \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{16}\right)^k = \frac{1}{15}\left(1 — \frac{1}{16^n}\right) \).
Итог:
\( S_n = \frac{16(16^n — 1)}{15} — 2n + \frac{1}{15}\left(1 — \frac{1}{16^n}\right) = \frac{16^{n+1} — 15}{15} — 2n — \frac{1}{15 \cdot 16^n} \).
3. Сумма ряда \( \frac{1}{3 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 13} + \ldots + \frac{1}{(5n — 2)(5n + 3)} \):
Разложим на простые дроби:
\( \frac{1}{(5n — 2)(5n + 3)} = \frac{1}{5}\left(\frac{1}{5n — 2} — \frac{1}{5n + 3}\right) \).
Сумма первых \( n \) членов:
\( S_n = \frac{1}{5} \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{5n + 3}\right) = \frac{1}{15} — \frac{1}{5(5n + 3)} \).
1. Рассмотрим первый ряд: \( \frac{5}{6} + \frac{71}{36} + \frac{647}{216} + \ldots + \frac{6^n \cdot n — 1}{6^n} \). Обозначим общий член ряда как \( a_n = \frac{6^n \cdot n — 1}{6^n} \). Разделим дробь на две части: \( a_n = \frac{6^n \cdot n}{6^n} — \frac{1}{6^n} = n — \frac{1}{6^n} \).
2. Теперь найдем сумму первых \( n \) членов ряда: \( S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n \left(k — \frac{1}{6^k}\right) = \sum_{k=1}^n k — \sum_{k=1}^n \frac{1}{6^k} \).
3. Сумма натуральных чисел от 1 до \( n \) равна \( \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \).
4. Сумма геометрической прогрессии с первым членом \( \frac{1}{6} \) и знаменателем \( \frac{1}{6} \) равна \( \sum_{k=1}^n \frac{1}{6^k} = \frac{\frac{1}{6}\left(1 — \left(\frac{1}{6}\right)^n\right)}{1 — \frac{1}{6}} = \frac{1}{5}\left(1 — \frac{1}{6^n}\right) \).
5. Подставим найденные суммы в выражение для \( S_n \): \( S_n = \frac{n(n+1)}{2} — \frac{1}{5}\left(1 — \frac{1}{6^n}\right) = \frac{n(n+1)}{2} — \frac{1}{5} + \frac{1}{5 \cdot 6^n} \).
6. Рассмотрим второй ряд: \( \left(4 — \frac{1}{4}\right)^2 + \left(4^2 — \frac{1}{4^2}\right)^2 + \ldots + \left(4^n — \frac{1}{4^n}\right)^2 \). Раскроем квадрат общего члена: \( \left(4^k — \frac{1}{4^k}\right)^2 = 4^{2k} — 2 + 4^{-2k} \).
7. Сумма первых \( n \) членов равна \( S_n = \sum_{k=1}^n \left(4^{2k} — 2 + 4^{-2k}\right) = \sum_{k=1}^n 4^{2k} — \sum_{k=1}^n 2 + \sum_{k=1}^n 4^{-2k} \).
8. Вычислим каждую сумму отдельно. Первая сумма: \( \sum_{k=1}^n 16^k = \frac{16(16^n — 1)}{15} \). Вторая сумма: \( \sum_{k=1}^n 2 = 2n \). Третья сумма: \( \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{16}\right)^k = \frac{1}{15}\left(1 — \frac{1}{16^n}\right) \).
9. Подставим эти значения в выражение для \( S_n \): \( S_n = \frac{16(16^n — 1)}{15} — 2n + \frac{1}{15}\left(1 — \frac{1}{16^n}\right) = \frac{16^{n+1} — 15}{15} — 2n — \frac{1}{15 \cdot 16^n} \).
10. Рассмотрим третий ряд: \( \frac{1}{3 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 13} + \ldots + \frac{1}{(5n — 2)(5n + 3)} \). Разложим общий член на простые дроби: \( \frac{1}{(5n — 2)(5n + 3)} = \frac{A}{5n — 2} + \frac{B}{5n + 3} \). Домножим на знаменатель: \( 1 = A(5n + 3) + B(5n — 2) \).
11. Подставим \( n = \frac{2}{5} \), чтобы найти \( A \): \( 1 = A(2 + 3) + B(2 — 2) = 5A \Rightarrow A = \frac{1}{5} \). Подставим \( n = -\frac{3}{5} \), чтобы найти \( B \): \( 1 = A(-3 + 3) + B(-3 — 2) = -5B \Rightarrow B = -\frac{1}{5} \).
12. Значит, общий член равен: \( a_n = \frac{1}{5}\left(\frac{1}{5n — 2} — \frac{1}{5n + 3}\right) \).
13. Сумма первых \( n \) членов: \( S_n = \frac{1}{5} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{5k — 2} — \frac{1}{5k + 3}\right) \).
14. Это телескопический ряд, поэтому сокращаются все внутренние члены и остается: \( S_n = \frac{1}{5}\left(\frac{1}{3} — \frac{1}{5n + 3}\right) = \frac{1}{15} — \frac{1}{5(5n + 3)} \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.