ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 5 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Каковы координаты вершины параболы:

1) \( y = x^2 + 7 \);

2) \( y = (x + 8)^2 \);

3) \( y = (x — 6)^2 + 9 \)?

2. Постройте график функции \( y = \sqrt{x} \). Используя этот график, постройте график функции:

1) \( y = \sqrt{x — 4} \);

2) \( y = 3 + \sqrt{x + 1} \).

3. Постройте график функции \( y = \frac{2x}{x + 3} \).

4. Сколько корней имеет уравнение \( |x + 3| = a — x^2 \) в зависимости от значения параметра \( a \)?

1) Вершина параболы \( y = x^2 + 7 \) находится в точке \( (0; 7) \).

2) Вершина параболы \( y = (x + 8)^2 \) находится в точке \( (-8; 0) \).

3) Вершина параболы \( y = (x — 6)^2 + 9 \) находится в точке \( (6; 9) \).

2.1) График функции \( y = \sqrt{x — 4} \) получается сдвигом графика \( y = \sqrt{x} \) вправо на 4 единицы.

2.2) График функции \( y = 3 + \sqrt{x + 1} \) получается сдвигом графика \( y = \sqrt{x} \) влево на 1 единицу и вверх на 3 единицы.

3) Функция \( y = \frac{2x}{x + 3} \) равна \( y = 2 — \frac{6}{x + 3} \). Вертикальная асимптота при \( x = -3 \), горизонтальная асимптота при \( y = 2 \).

4) Уравнение \( |x + 3| = a — x^2 \) преобразуем в \( a — x^2 = x + 3 \), тогда \( x^2 + x + (3 — a) = 0 \). Дискриминант \( D = 1 — 4(3 — a) = 4a — 11 \).

Если \( D = 0 \), то \( 4a — 11 = 0 \), откуда \( a = \frac{11}{4} = 2,75 \).

Ответ:

при \( a < 2,75 \) корней нет;

при \( a = 2,75 \) один корень;

при \( a > 2,75 \) два корня.

1. Вершина параболы задана формулой \( y = (x — h)^2 + k \), где вершина в точке \( (h; k) \).

Для функции \( y = x^2 + 7 \) видно, что \( h = 0 \), \( k = 7 \). Значит вершина в точке \( (0; 7) \).

Для функции \( y = (x + 8)^2 \) можно переписать как \( y = (x — (-8))^2 + 0 \), значит вершина в точке \( (-8; 0) \).

Для функции \( y = (x — 6)^2 + 9 \) вершина в точке \( (6; 9) \).

2.1. График функции \( y = \sqrt{x} \) начинается в точке \( (0; 0) \) и растёт вправо. Чтобы построить график \( y = \sqrt{x — 4} \), нужно сдвинуть график \( y = \sqrt{x} \) вправо на 4 единицы, так как подкоренное выражение стало \( x — 4 \).

2.2. Для функции \( y = 3 + \sqrt{x + 1} \) сначала сдвигаем график \( y = \sqrt{x} \) влево на 1 единицу (из-за \( x + 1 \)), а затем поднимаем весь график вверх на 3 единицы (из-за \( +3 \)).

3. Функция \( y = \frac{2x}{x + 3} \) может быть преобразована:

\( y = \frac{2x + 6 — 6}{x + 3} = \frac{2(x + 3) — 6}{x + 3} = 2 — \frac{6}{x + 3} \).

Вертикальная асимптота возникает при \( x + 3 = 0 \), то есть \( x = -3 \).

Горизонтальная асимптота равна пределу при \( x \to \pm \infty \), это \( y = 2 \).

4. Рассмотрим уравнение \( |x + 3| = a — x^2 \).

Модуль раскрываем по случаям.

Случай 1: \( x + 3 \geq 0 \), тогда \( |x + 3| = x + 3 \), уравнение:

\( x + 3 = a — x^2 \).

Переносим все в одну сторону:

\( x^2 + x + (3 — a) = 0 \).

Дискриминант этого квадратного уравнения:

\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (3 — a) = 1 — 4(3 — a) = 1 — 12 + 4a = 4a — 11 \).

Рассмотрим случаи:

Если \( D < 0 \), корней нет.

Если \( D = 0 \), один корень.

Если \( D > 0 \), два корня.

Решаем \( D = 0 \):

\( 4a — 11 = 0 \Rightarrow a = \frac{11}{4} = 2,75 \).

Ответ:

при \( a < 2,75 \) корней нет;

при \( a = 2,75 \) один корень;

при \( a > 2,75 \) два корня.