ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 5 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Каковы координаты вершины параболы:

1) \( y = x^2 — 10 \);

2) \( y = (x — 9)^2 \);

3) \( y = (x + 14)^2 — 13 \)?

2. Постройте график функции \( y = \sqrt{x} \). Используя этот график, постройте график функции:

1) \( y = \sqrt{x} + 2 \);

2) \( y = 2 + \sqrt{x — 1} \).

3. Постройте график функции \( y = \frac{3x}{x + 4} \).

4. Сколько корней имеет уравнение \( |x — 3| = a — x^2 \) в зависимости от значения параметра \( a \)?

1) Вершина у функции \( y = x^2 — 10 \) при \( x = 0 \), тогда \( y = 0^2 — 10 = -10 \). Ответ: (0; -10).

2) Вершина у функции \( y = (x — 9)^2 \) при \( x = 9 \), тогда \( y = (9 — 9)^2 = 0 \). Ответ: (9; 0).

3) Вершина у функции \( y = (x + 14)^2 — 13 \) при \( x = -14 \), тогда \( y = (-14 + 14)^2 — 13 = -13 \). Ответ: (-14; -13).

1) График функции \( y = \sqrt{x} + 2 \) сдвинут вверх на 2, начинается в точке (0; 2).

2) График функции \( y = 2 + \sqrt{x — 1} \) сдвинут вправо на 1 и вверх на 2, начинается в точке (1; 2).

Функция \( y = \frac{3x}{x + 4} \) равна \( y = 3 — \frac{12}{x + 4} \), при \( x = -4 \) функция не определена.

Решаем уравнение \( |x — 3| = a — x^2 \).

Рассмотрим уравнение \( a — x^2 = 3 — x \), приводим к квадратному виду:

\( x^2 — x + (3 — a) = 0 \).

Вычисляем дискриминант:

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (3 — a) = 1 — 4(3 — a) = 4a — 11 \).

Если \( D < 0 \), то \( a < 2,75 \) — корней нет.

Если \( D = 0 \), то \( a = 2,75 \) — один корень.

Если \( D > 0 \), то \( a > 2,75 \) — два корня.

Ответ:

при \( a < 2,75 \) нет корней;

при \( a = 2,75 \) один корень;

при \( a > 2,75 \) два корня.

1) Вершина параболы у функции \( y = x^2 — 10 \) находится в точке, где производная равна нулю. Производная \( y’ = 2x \). Приравниваем к нулю: \( 2x = 0 \), значит \( x = 0 \). Подставляем в функцию: \( y = 0^2 — 10 = -10 \). Вершина в точке (0; -10).

2) Функция \( y = (x — 9)^2 \) записана в виде \( y = (x — p)^2 \), вершина у такой параболы находится в точке \( (p; 0) \). Здесь \( p = 9 \), значит вершина в точке (9; 0).

3) Функция \( y = (x + 14)^2 — 13 \) имеет вершину при \( x = -14 \), так как \( (x + 14)^2 \) минимально при \( x = -14 \). Подставляем: \( y = 0 — 13 = -13 \). Вершина в точке (-14; -13).

1) График функции \( y = \sqrt{x} + 2 \) — это график \( y = \sqrt{x} \), сдвинутый вверх на 2 единицы. Начальная точка графика была (0; 0), после сдвига стала (0; 2).

2) График функции \( y = 2 + \sqrt{x — 1} \) — это график \( y = \sqrt{x} \), сдвинутый вправо на 1 и вверх на 2. Начальная точка \( \sqrt{x} \) была (0; 0), после сдвига стала (1; 2).

Функция \( y = \frac{3x}{x + 4} \) может быть преобразована. Запишем:

\( y = \frac{3x + 12 — 12}{x + 4} = \frac{3(x + 4) — 12}{x + 4} = 3 — \frac{12}{x + 4} \).

Вертикальная асимптота при \( x = -4 \), где знаменатель равен нулю. Горизонтальная асимптота при \( y = 3 \), так как при больших \( x \) дробь стремится к 3.

Рассмотрим уравнение \( |x — 3| = a — x^2 \).

Для решения перепишем его как два уравнения:

1) \( x — 3 = a — x^2 \), тогда \( x^2 + x + (-3 — a) = 0 \).

2) \( 3 — x = a — x^2 \), тогда \( x^2 — x + (3 — a) = 0 \).

Рассмотрим второе уравнение:

\( x^2 — x + (3 — a) = 0 \).

Вычислим дискриминант:

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (3 — a) = 1 — 4(3 — a) = 1 — 12 + 4a = 4a — 11 \).

Если \( D < 0 \), то корней нет, значит \( 4a — 11 < 0 \), или \( a < \frac{11}{4} = 2,75 \).

Если \( D = 0 \), то один корень, при \( a = 2,75 \).

Если \( D > 0 \), то два корня, при \( a > 2,75 \).

Ответ:

при \( a < 2,75 \) корней нет;

при \( a = 2,75 \) один корень;

при \( a > 2,75 \) два корня.