ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 5 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Каковы координаты вершины параболы:

1) \( y = x^2 + 12 \);

2) \( y = (x — 7)^2 \);

3) \( y = (x + 20)^2 + 1 \)?

2. Постройте график функции \( y = \sqrt{x} \). Используя этот график, постройте график функции:

1) \( y = \sqrt{x} + 1 \);

2) \( y = 1 + \sqrt{x} + 2 \).

3. Постройте график функции \( y = \frac{3x}{x + 2} \).

4. Сколько корней имеет уравнение \( |x + 2| = a — x^2 \) в зависимости от значения параметра \( a \)?

1) Вершина у параболы \(y = x^2 + 12\) при \(x=0\), тогда \(y=12\), ответ: (0; 12).
2) Вершина у параболы \(y = (x — 7)^2\) при \(x=7\), тогда \(y=0\), ответ: (7; 0).
3) Вершина у параболы \(y = (x + 20)^2 + 1\) при \(x=-20\), тогда \(y=1\), ответ: (-20; 1).

График функции \(y = \sqrt{x}\) построен.
1) График \(y = \sqrt{x} + 1\) — это график \(y = \sqrt{x}\), сдвинутый вверх на 1.

2) График \(y = 1 + \sqrt{x} + 2 = \sqrt{x} + 3\) — график \(y = \sqrt{x}\), сдвинутый вверх на 3.

Функция \(y = \frac{3x}{x+2}\) преобразуется:
\(y = \frac{3x + 6 — 6}{x+2} = 3 — \frac{6}{x+2}\),
асимптота при \(x = -2\), \(y_0 = 3\).

Уравнение \(|x + 2| = a — x^2\) решаем:
\(a — x^2 = x + 2\),
получаем квадратное уравнение \(x^2 + x + (2 — a) = 0\),
дискриминант \(D = 1 — 4(2 — a) = 4a — 7\).

Если \(a < 1,75\), корней нет;
если \(a = 1,75\), один корень;
если \(a > 1,75\), два корня.

1) Уравнение \(y = x^{2} + 12\) — это парабола с вершиной в точке, где производная равна нулю. Производная \(2x\) равна 0 при \(x = 0\). Подставляем \(x = 0\) в уравнение, получаем \(y = 0^{2} + 12 = 12\). Вершина параболы имеет координаты (0; 12).

2) Уравнение \(y = (x — 7)^{2}\) — парабола, сдвинутая вправо на 7 единиц. Вершина находится там, где выражение в скобках равно нулю, то есть при \(x = 7\). Подставляем \(x = 7\), получаем \(y = 0^{2} = 0\). Вершина в точке (7; 0).

3) Уравнение \(y = (x + 20)^{2} + 1\) — парабола, сдвинутая влево на 20 и вверх на 1. Вершина в точке, где \(x + 20 = 0\), то есть при \(x = -20\). Подставляем \(x = -20\), получаем \(y = 0^{2} + 1 = 1\). Вершина в точке (-20; 1).

4) Функция \(y = \sqrt{x}\) — корень из \(x\). График этой функции начинается в точке (0; 0) и растёт вправо.

5) Функция \(y = \sqrt{x} + 1\) — график функции \(y = \sqrt{x}\), сдвинутый вверх на 1 единицу. Каждое значение \(y\) увеличивается на 1.

6) Функция \(y = 1 + \sqrt{x} + 2\) упрощается до \(y = \sqrt{x} + 3\). Это график \(y = \sqrt{x}\), сдвинутый вверх на 3 единицы.

7) Функция \(y = \frac{3x}{x + 2}\) преобразуем:
\(y = \frac{3x + 6 — 6}{x + 2} = \frac{3(x + 2) — 6}{x + 2} = 3 — \frac{6}{x + 2}\).
Вертикальная асимптота при \(x = -2\), так как знаменатель равен нулю. При \(x \to \infty\), \(y \to 3\), значит горизонтальная асимптота \(y = 3\).

8) Уравнение \(|x + 2| = a — x^{2}\) решаем по случаям.
Первый случай: \(x + 2 \geq 0\), тогда \(|x + 2| = x + 2\), уравнение становится
\(a — x^{2} = x + 2\), или
\(x^{2} + x + (2 — a) = 0\).

9) Находим дискриминант квадратного уравнения:
\(D = 1^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (2 — a) = 1 — 8 + 4a = 4a — 7\).

10) Анализ корней:
Если \(D < 0\), то корней нет, значит \(4a — 7 < 0\) или \(a < \frac{7}{4} = 1,75\).
Если \(D = 0\), один корень, при \(a = 1,75\).
Если \(D > 0\), два корня, при \(a > 1,75\).