ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 5 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Каковы координаты вершины параболы:

1) \( y = x^2 — 9 \);

2) \( y = (x + 6)^2 \);

3) \( y = (x — 5)^2 — 7 \)?

2. Постройте график функции \( y = \sqrt{x} \). Используя этот график, постройте график функции:

1) \( y = \sqrt{x} — 3 \);

2) \( y = 4 + \sqrt{x} — 2 \).

3. Постройте график функции \( y = \frac{4x}{x + 3} \).

4. Сколько корней имеет уравнение \( |x — 2| = a — x^2 \) в зависимости от значения параметра \( a \)?

1) Вершина \(y = x^2 — 9\) в точке \((0; -9)\)
2) Вершина \(y = (x + 6)^2\) в точке \((-6; 0)\)
3) Вершина \(y = (x — 5)^2 — 7\) в точке \((5; -7)\)

2.1) График \(y = \sqrt{x} — 3\) — график \(y = \sqrt{x}\) сдвинут вниз на 3 единицы.

2.2) График \(y = 4 + \sqrt{x} — 2 = \sqrt{x} + 2\) — график \(y = \sqrt{x}\) сдвинут вверх на 2 единицы.

3) \(y = \frac{4x}{x + 3} = 4 — \frac{12}{x + 3}\), при \(x = -3\) нет значения (асимптота).

4) Уравнение \( |x — 2| = a — x^2 \)
Преобразуем: \(a — x^2 = 2 — x\)
\(x^2 — x + (2 — a) = 0\)
Дискриминант: \(D = 1 — 4(2 — a) = 4a — 7\)
Решаем: \(4a — 7 = 0 \Rightarrow a = \frac{7}{4} = 1{,}75\)

1. Вершина параболы задана формулой \(y = (x — h)^2 + k\), где вершина в точке \((h; k)\).

Для функции \(y = x^2 — 9\) видим, что \(h = 0\), \(k = -9\), значит вершина в точке \((0; -9)\).

Для функции \(y = (x + 6)^2\) перепишем как \(y = (x — (-6))^2 + 0\), значит вершина в точке \((-6; 0)\).

Для функции \(y = (x — 5)^2 — 7\) вершина в точке \((5; -7)\).

2. Исходный график функции \(y = \sqrt{x}\).

2.1. Функция \(y = \sqrt{x} — 3\) — это сдвиг графика \(y = \sqrt{x}\) вниз на 3 единицы, так как вычитается 3 из значения функции.

2.2. Функция \(y = 4 + \sqrt{x} — 2 = \sqrt{x} + 2\) — это сдвиг графика \(y = \sqrt{x}\) вверх на 2 единицы, так как добавляется 2 к значению функции.

3. Рассмотрим функцию \(y = \frac{4x}{x + 3}\).

Чтобы упростить, разделим числитель и знаменатель:

\(y = \frac{4x + 12 — 12}{x + 3} = \frac{4(x + 3) — 12}{x + 3} = 4 — \frac{12}{x + 3}\).

При \(x = -3\) знаменатель равен нулю, значит в точке \(x = -3\) функция не определена, там вертикальная асимптота.

График функции — гипербола с вертикальной асимптотой \(x = -3\) и горизонтальной асимптотой \(y = 4\).

4. Решаем уравнение с модулем \( |x — 2| = a — x^2 \).

Рассмотрим два случая:

а) \(x — 2 \geq 0 \Rightarrow |x — 2| = x — 2\), тогда уравнение \(x — 2 = a — x^2\).

Переносим все в одну сторону: \(x^2 + x — 2 — a = 0\), или \(x^2 + x + ( — 2 — a) = 0\).

б) \(x — 2 < 0 \Rightarrow |x — 2| = -(x — 2) = 2 — x\), тогда уравнение \(2 — x = a — x^2\).

Переносим все в одну сторону: \(x^2 — x + (2 — a) = 0\).

Рассмотрим второй случай, так как он даёт уравнение \(x^2 — x + (2 — a) = 0\).

Найдём дискриминант:

\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (2 — a) = 1 — 8 + 4a = 4a — 7\).

Для существования корней дискриминант должен быть неотрицателен:

\(4a — 7 \geq 0 \Rightarrow a \geq \frac{7}{4} = 1{,}75\).

Если \(a < 1{,}75\), корней нет. Если \(a = 1{,}75\), один корень. Если \(a > 1{,}75\), два корня.