ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 7 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Постройте график функции \( f(x) = x^2 + 8x + 7 \). Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

3) множество решений неравенства: а) \( f(x) < 0 \); б) \( f(x) \geq 0 \);

4) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: а) \([-5; 6]\); б) \([4; 10]\).

2. Пусть \( D \) — дискриминант квадратного трёхчлена \( ax^2 + bx + c \). Изобразите схематически график квадратичной функции \( y = ax^2 + bx + c \), если \( a > 0 \), \( D > 0 \), \( c > 0 \), \( -\frac{b}{2a} < 0 \).

3. При каких значениях параметра \( a \) произведение корней уравнения \( x^2 — 2ax + a^2 + 2a + 6 = 0 \) принимает наименьшее значение?

1. \( y = x^2 + 8x + 7 \)
Вершина: \( x_0 = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4 \), \( y_0 = (-4)^2 + 8 \cdot (-4) + 7 = 16 — 32 + 7 = -9 \)
Область значений: \( E(y) = [-9; +\infty) \)
Промежутки монотонности: убывает на \( (-\infty; -4] \), возрастает на \( [-4; +\infty) \)
Корни уравнения: \( x_1 = -7 \), \( x_2 = -1 \)
Решения неравенств:
а) \( f(x) < 0 \) при \( x \in (-7; -1) \)
б) \( f(x) \geq 0 \) при \( x \in (-\infty; -7] \cup [-1; +\infty) \)
Значения функции на промежутках:
а) при \( x \in [-5; 6] \): \( y_{наиб} = 91 \), \( y_{наим} = -9 \)
б) при \( x \in [4; 10] \): \( y_{наиб} = 187 \), \( y_{наим} = 55 \)

2. При \( a > 0 \), \( D > 0 \), \( c > 0 \), \( -\frac{b}{2a} < 0 \) график — парабола с ветвями вверх, пересекающая ось \( x \) в двух точках, вершина слева от оси \( y \), пересечение с осью \( y \) выше нуля.

3. Произведение корней уравнения \( x^2 — 2ax + a^2 + 2a + 6 = 0 \) равно \( a^2 + 2a + 6 \).
Минимум достигается при \( a = -\frac{2}{2} = -1 \).
Ответ: \( -1 \).

1. Функция \( f(x) = x^2 + 8x + 7 \). Сначала найдём вершину параболы. Формула для координаты вершины по оси \( x \) — \( x_0 = -\frac{b}{2a} \). Здесь \( a = 1 \), \( b = 8 \), значит \( x_0 = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4 \). Подставим в функцию, чтобы найти \( y_0 \): \( f(-4) = (-4)^2 + 8 \cdot (-4) + 7 = 16 — 32 + 7 = -9 \).

Область значений функции — все \( y \), которые функция может принимать. Парабола направлена вверх, значит минимум равен \( y_0 = -9 \). Следовательно, область значений \( E(y) = [-9; +\infty) \).

2. Промежутки монотонности. Функция убывает, когда \( x < -4 \), и возрастает, когда \( x > -4 \). Значит, убывание на \( (-\infty; -4] \), возрастание на \( [-4; +\infty) \).

3. Найдём корни уравнения \( x^2 + 8x + 7 = 0 \). Вычислим дискриминант: \( D = b^2 — 4ac = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 — 28 = 36 \). Корни: \( x_1 = \frac{-8 — \sqrt{36}}{2} = \frac{-8 — 6}{2} = -7 \), \( x_2 = \frac{-8 + 6}{2} = -1 \).

а) Решим неравенство \( f(x) < 0 \). Парабола направлена вверх, значит функция меньше нуля между корнями, то есть \( x \in (-7; -1) \).

б) Решим неравенство \( f(x) \geq 0 \). Это все \( x \), где функция положительна или равна нулю, то есть \( x \in (-\infty; -7] \cup [-1; +\infty) \).

4. Значения функции на промежутках.

а) При \( x \in [-5; 6] \) вычислим значения на концах и в вершине. \( f(-5) = (-5)^2 + 8 \cdot (-5) + 7 = 25 — 40 + 7 = -8 \). \( f(6) = 36 + 48 + 7 = 91 \). Вершина \( f(-4) = -9 \). Минимальное значение \( -9 \), максимальное \( 91 \).

б) При \( x \in [4; 10] \) вычислим значения на концах. \( f(4) = 16 + 32 + 7 = 55 \), \( f(10) = 100 + 80 + 7 = 187 \). Минимальное значение \( 55 \), максимальное \( 187 \).

5. Рассмотрим функцию \( y = ax^2 + bx + c \) с условиями: \( a > 0 \), значит парабола направлена вверх. \( D > 0 \), значит у уравнения есть два разных корня, парабола пересекает ось \( x \) в двух точках. \( c > 0 \), значит точка пересечения с осью \( y \) выше нуля. \( -\frac{b}{2a} < 0 \), значит вершина параболы находится слева от оси \( y \). Значит график — парабола с ветвями вверх, пересекающая ось \( x \) в двух точках, вершина слева от оси \( y \), пересечение с осью \( y \) выше нуля.

6. Найдём произведение корней уравнения \( x^2 — 2ax + a^2 + 2a + 6 = 0 \). По теореме Виета произведение корней равно свободному члену, то есть \( a^2 + 2a + 6 \).

7. Найдём минимум функции \( P(a) = a^2 + 2a + 6 \). Координата вершины по \( a \): \( a_0 = -\frac{2}{2} = -1 \). Значение в вершине: \( P(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 6 = 1 — 2 + 6 = 5 \).

8. Минимальное значение произведения корней равно 5, достигается при \( a = -1 \).

Ответ: \( a = -1 \).